点群

物理学术语

晶体中所含有的全部宏观对称元素至少交于一点，这些汇聚于一点的全部对称元素的各种组合称为晶体的点群（point group），或称为对称类型。

点群定义

见晶体的对称性。

在固体物理中，点群与晶类（crystal class）有等同的含义。

点群与两个概念有关：对称要素，对称操作群

对称操作群：由物体的对称操作构成的群。

对称操作：物体在正交变换（保持两点间距离不变的几何操作，如旋转，反伸，反映）下不变，则该变换为物体的对称操作。

群：数学概念，集合和其上的一种运算构成一个群。群要求满足封闭性，存在单位元素，存在逆元素，满足该运算的结合律；简单说群是按照某种规律相互联系着的一组元素的集合。群的元素可以是字母、数字等，在晶体对称理论中，群的元素是对称操作。

对称要素

对称要素包括对称中心、对称轴、对称面、旋转反伸轴和旋转反映轴。对称要素可用普通符号、国际符号和Schoenflies 符号三种方式表示。可以证明，晶体中对称要素共有8种。分别是1，2，3，4，6 ，m，i，-4（这里用国际符号表示，准晶中还可以出现其他对称要素）。

对称轴：对称轴是一根假想直线，n重旋转轴是指若物体绕某轴转2π/n 及2π/n的整数倍，物体不变，则该轴为物体的n重旋转轴。

对称面：对称面是一个假想的平面，相应的对称操作为对于此平面的反映。它将图形平分为互为镜像的两个相等部分。

对称中心：对称中心是一个假象的点，相应的对称操作是对此点的反伸（或称倒反）。如果通过此点作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端，必定可以找到对应点。

旋转反伸轴：旋转反伸轴是一根假象直线，若物体对某轴作转2π/n 加上中心反伸的联合操作，及联合操作的倍数，物体不变，则该轴为物体的n重旋转反伸轴。

其中，除了外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，期间关系如下：

旋转反映轴：旋转反映轴是一根假象直线，若物体对某轴作转2π/n 加上对垂直它的一个平面进行反映的联合操作，及联合操作的倍数，物体不变，则该轴为物体的n重旋转反伸轴。

对称要素组合

在结晶多面体中，可以有一个对称要素单独存在，也可以有若干个对称要素组合在一起共存。

对称要素组合服从如下规律：

1.如果有一个二次轴垂直n次轴，则必有n个垂直与，即x→n。

2.如果有一个对称面P垂直偶次轴（n为偶数），则在其交点存在对称中心C，即xP→PC。

3.如果有一个对称面P包含对称轴，则必有n个P包含，即xP→nP。

4.如果有一个二次轴垂直与旋转反伸轴，或者有一个对称面P包含，当n为奇数时必有n垂直和n个对称面包含，即x→nnP，xP→nnP；当n为偶数时必有n/2个垂直和n/2个P包含，即x→n/2n/2P，xP→n/2n/2P。

点群介绍

对称性是晶体的一个共性，结晶多面体中，全部对称要素的组合，称为该结晶多面体的点群（也称对成型）。

根据晶体的特征对称元素所进行分类。

晶体可分为7大晶系：三斜晶系、单斜晶系、正交（斜方）晶系、四方晶系、六角（六方）晶系、三角（三方）晶系、立方晶系；

14种Bravais(布拉维)格子：简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单正交、底心正交、体心正交、面心正交、三角、简单四方、体心四方、六角、简单立方、体心立方、面心立方；

32个晶类（点群）：C1、Ci、C2、Cs、C2h、D2、D2v、D2h、C3、C3i、D3、C3v、D3d、C4、C4h、D4、C4v、D4h、S4、D2d、C6、C6h、D6、C3v、D6h、C3h、D2h、T、Th、Td、O、Oh（这里用 Schoenflies 符号表示，还可以用国际符号表示，请参考相关书目）。

比如正方体有48个对称操作：

沿着立方轴转π/2,π，3π/2，有3个立方轴，共9种

沿着面对角线转π，有6条面对角线，共6种

沿着体对角线转2π/3，4π/3，有4条体对角线，共8种

不动算1种，共9+6+8+1=24种。

这24种转动加上中心反演也有24种，故共48种，记为Oh，其中24种纯转动记为O。

有了点群的划分，我们就可以表示任何一种晶体具体的结构对称性。点群的国际符号一般由三位组成，分别表示三个特定方向上的对称元素，不同晶系中三个方向的选取自然不同。如钛酸钡的六方晶系就可表示为6/mmm 。由于很多内容在这里因没有相应的编辑器，叙述不便，更多的内容也看可以参考书目。

准晶点群

1984年在AlMn合金的透射电子显微镜的研究中首次发现了五次对称轴；其颗粒的点群为m-3-5.在其结构中配位多面体是长程有序的，但没有平移周期，即不具有格子构造。这类物质陆续发现，它们被认为是介于非晶态和结晶态之间的一中新物态——准晶态。

在五次轴的准晶之后，继而又有十次轴准晶的研究。从而推导出的新点群如下：

等轴晶系：m-3-5 ；235

五方晶系：5 ；-5 ；5m ；-5m ；52