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对角线

几何学名词

对角线，几何学名词，定义为连接多边形任意两个不相邻顶点的线段，或者连接多面体任意两个不在同一面上的顶点的线段。另外在代数学中，n阶行列式，从左上至右下的数归为主对角线，从左下至右上的数归为副对角线。“对角线”一词来源于古希腊语“角”与“角”之间的关系，后来被拉入拉丁语（“斜线”）。

几何图形
连接多边形任意两个不相邻顶点的线段，或者连接多面体任意两个不在同一面上的顶点的线段.
从n 边形的一个顶点出发，可以引n -3条对角线
n边形共有n×（n-3）÷2个对角线
◎关于矩形对角线的知识：
长×长+宽×宽=对角线×对角线（其实就是勾股定理）即两个直角边的平方和等于斜边的平方。
狭义的对角线，是在多边形中任意两个非邻接的顶点的连线（线段）.
广义的对角线，是在多维度体中任意两个非邻接的顶点的连线（线段）.
代数
行列式
在n阶行列式中，从左上至右下的数归为主对角线，从左下至右上的数归为副对角线。
克莱姆（Cramer）法则：主对角线的数分别相乘，所得值相加；副对角线的数分别相乘，所得值的相反数相加。两者总和为行列式的值。此法仅适用于小于4阶的行列式。（如右图1）
矩阵
一个m×n阶矩阵的对角线为所有第k行第k列元素的全体，k=1,2,3… min{m,n}。
集合
设X，Y是任意两个集合，按定义一切序对（x,y）所构成的集合：
X×Y := {(x,y)|(x∈X）∧（y∈Y)}
叫做集合X,Y（按顺序）的直积或笛卡尔积，X×X叫做X^2。
集合中的对角线：
△ = {(a,b）∈X^2| a = b }
是X^2的一个子集，它给出集X中元素的相等关系，事实上，a△b表示（a,b）∈△。即a=b。
四边形
由三角形的三个顶点就能确定这个三角形的位置、形状和大小；当没有给出顶点时，由三角形的一些元素（共六个元素，分别为三角形的三条边和三个内角）也能确定三角形的形状和大小。确定了三角形，就能研究这个三角形的中线、高、角平分线、中位线这几个重要的线段。在四边形中，是通过对角线把它分割成三角形来研究的，这样四边形中的对角线就显得更加重要。本文就如何巧用四边形的对角线来判定特殊的四边形举例加以分析，供同学们学习时参考。
一. 利用对角线判定特殊的四边形
在课堂上我们已探索过以下几个重要的结论：
⑴对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑵对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
⑶对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；
⑷对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形；
⑸对角线相等的梯形是等腰梯形。
其实以上这些结论是有联系的。如图1，四边形ABCD中，两条对角线相交于点O。
⑴当OA=OC，OB=OD时，四边形ABCD是平行四边形。
⑵在OA=OC，OB=OD的基础上增加AC=BD条件时，四边形 ABCD在平行四边形的基础上变成矩形。
⑶在OA=OC，OB=OD的基础上增加AC⊥BD条件时，四边形ABCD在平行四边形的基础上变成菱形。
⑷在OA=OC，OB=OD的基础上增加AC=BD，AC⊥BD 条件时，四边形ABCD在平行四边形的基础上变成正方形。
⑸当AB//CD， 且 ，OA=OB时，此时的四边形ABCD为对角线相等的梯形，即等腰梯形。
由此可知，把一个一般的四边形变为特殊的四边形，可以通过改变两条对角线的大小关系和位置关系来完成。这也是特殊四边形之间重要的联系纽带之一。
二. 利用对角线判定动态四边形的形状
如图2， 中，点O是边AC上的一个动点，P是BC延长线上一点。过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠PCA的平分线于点F，连结AE、AF。
⑴图中有等腰三角形吗？
⑵当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由。
⑶在⑵中的矩形可能是正方形吗？此时 应满足什么条件？
分析：⑴图2中有等腰三角形。
理由：
是等腰三角形。
⑵当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。理由如下：
由⑴得。
由O是AC的中点，得。
所以 :
所以四边形AECF的两条对角线AC、EF互相平分且相等。故四边形AECF为矩形。
所以，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。
⑶在⑵中的矩形可能是正方形。
理由：因为MN//BC，当∠ACB=90°时，∠AOE=∠ACB=90°，即对角线AC、EF互相垂直。
所以这时四边形AECF是正方形。
即在这当中，当∠ACB=90°时，在⑵中的矩形AECF是正方形。
其他非数学应用
1、在工程中，对角支架是用于支撑矩形结构（例如脚手架）的梁以承受推入其中的强力；虽然被称为对角线，但由于实际考虑，对角线通常不连接到矩形的角部。
2、对角线钳是指刀口切割边缘所定义的钢丝钳，它与关节铆钉相交于一个角度或成“对角线”，因此得名。
3、对角线捆绑是用于将翼梁或杆结合在一起的绑扎类型，使得绑带以一定角度交叉在杆上。
4、在英式足球中，对角线控制战术是裁判和助理裁判将自己定位在球场四个象限中的一个位置。
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