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布利安桑定理

数学术语

布利安桑（Brainchon）定理是一个射影几何中的著名定理，其定理内容为：六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点，此点被称为该六边形的布列安桑点。

定理定义
布利安桑定理叙述如下：如果六边形的边交替地通过两个定点P和Q，则连接六边形的相对的顶点的三条对角线是共点的。
布列安桑（Brainchon）定理是一个射影几何中的著名定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点，此点称为该六边形的布列安桑点（见下图）：
[注1] 此处的对角线指主对角线，若六边形的六个顶点记作 A1, A2, A3, A4, A5, A6，则三条（主）对角线为 A1A4, A2A5, A3A6.
定理证明
证明一
（利用根轴）（定理中圆锥曲线为圆的情况）
已知：如图所示，六边形ABCDEF外切于一圆。
求证：AD，BE，CF共点。
证明：如图所示，从外切六边形的各个切点如图方向延长，使图中所有红色的线段相等。（即若设AB、BC、CD、DE、EF、FA分别切圆于G'、L'、I'、H'、K'、J'，则分别延长AB、CB、CD、ED、EF、AF到G、H、I、J、K、L，而且满足GG'=HH'=II'=JJ'=KK'=LL'）分别过G、H为切点作圆O1，I、J为切点作圆O2，K、L为切点作圆O3
由切线长定理易推出GB=BL，HE=KE，所以BE为圆O1和圆O3的根轴，
同理可证CF为圆O2和圆O3的根轴，AD为圆O1和圆O2的根轴，
由根心定理知，三个不在一条直线的三个圆的三条根轴必交于一点，所以AD，BE，CF共点，
得证
证明二
（利用牛顿定理3）（定理中圆锥曲线为圆的情况）
如右图所示。
--------------------（以下为右图中的内容）---------------------------------------
已知：如图所示，六边形ABCDEF外切于一圆。
求证：AD、BE、CF交于一点。
证明：设AD、BE交于点O。AB、BC、CD、DE、EF、FA分别切圆于G、H、I、J、K、L。
由牛顿定理3知AD、GJ、IL交于点P；BE、GJ、HK交于点Q，CF、HK、IL交于点R。
由弦切角定理易得∠BGJ=∠DJG，
作OS//AB交GJ于S，OT//DE交GJ于T，则∠OTS=180°-∠DJG=180°-∠BGJ=∠OST，所以OT=OS，
作OU//CD交PI于U，又因为OT//DE，则OU/ID=PO/PD=OT/DJ（平行线分线段成比例定理），
由切线长定理知ID=DJ，所以OU=OT，
作OV//BC交HQ于V，同理可证OV=OS，
所以OU=OT=OS=OV，
因为OU//CI，所以OC被IU分成的两段之比为OU/CI（平行线分线段成比例定理），
因为OV//CH，所以OC被HV分成的两段之比为OV/CH（平行线分线段成比例定理），
又因为OU=OV（已证），CI=CH（切线长定理），
所以OU/CI=OV/CH，即IU、OC的交点与HV、OC的交点重合，所以IU、OC、HV共点，
又因为CF、HK、IL共点（已证），所以C、O、F共线，即AD、BE、CF共点，
得证。
--------------------（以上为右图中的内容）---------------------------------------
定理推广
此定理是帕斯卡定理的对偶形式。用其证明牛顿定理甚易。
布列安桑定理的逆定理同样成立，即如果一个六边形的三条对角线共点，则它的六条边和一条圆锥曲线相切。
发展简史
布列安桑定理由法国数学家 Charles Julien Brianchon (1783–1864) 发现， 按照法语发音，Brianchon 应该译为“布里昂雄”，数学名词译者多不懂法语，误按英语发音译为“布列安桑”，此名词已广为人知，故从之。
布列安桑定理是射影几何中的另一个著名定理——帕斯卡（Pascal）定理的对偶定理。
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