微扰理论

从相关问题的确切解中找出问题的近似解的数学方法

微扰理论是从相关问题的确切解中找出问题的近似解的数学方法。该技术的一个关键特征是将问题分解为“可解决”和“扰动”两部分。如果手头的问题无法精确地解决，微扰理论是可以采用的，但只是可以通过在问题的数学描述中增加一个“小”项。

简介

微扰理论推导出了在一些“小”参数（称为微扰序列）中的形式幂级数的期望解的表达式，量化了与问题的偏差。这个系列的主要参数是求出问题的精确解，而由于偏离了初始问题，进一步的参数描述了解的偏差。在形式上，我们有近似于完整解A，一个小参数（这里称为ε）的系列，如下所示：

在这个例子中，A0是初始问题的已知解，A1，A2，...代表可以通过一些系统过程迭代地找到的高阶项。对于小ε，该系列中的这些高阶项逐渐变小。

通过对序列进行截断来获得近似的“扰动解”，通常通过仅保留前两个项，初始解和“一阶”扰动校正。

微扰理论与数值分析中使用的方法密切相关。最早使用现在称为微扰理论的方法是处理天体力学中其他无法解决的数学问题：例如月球的轨道，其与简单的开普勒椭圆运动明显不同，因为地球的相互作用引力，太阳。

微扰理论方法从原始问题的简化形式开始，这可以准确地解决。在天体力学中，通常是开普勒椭圆形。在非相对重力下，当只有两个引力体（即地球和月球）时，椭圆是正确的，但当有三个或更多个物体（例如地球，月球，太阳和太阳系的其余部分），并且当使用广义相对论的配方来描述引力相互作用时不太正确。

但是，简化的问题被“扰乱”，使得扰动解的实际情况更接近于原始问题中的公式，例如包括第三体（太阳）的引力吸引力。通常，代表现实的“条件”是具体表达一些物理定律的公式（或几个），如牛顿第二定律，力加速度方程，

在该示例的情况下，基于重力相关体的数量来计算力F；使用微积分从月球轨道上获得加速度a。这两种形式有两种形式：由简化引起的力和加速度的近似值，以及力和加速度的假设精确值，这将需要完整的计算结果。

由于适应扰动而导致的轻微变化本身可能已经被简化了，被用作修正近似解。由于每一步都引入了简化，纠正是不完美的，修正后的解满足的条件与实际要求的方程不完全匹配。然而，即使只有一个循环的修正通常提供了一个很好的近似答案，应该是真正的解。

没有必要只在一个循环的修正停止。可以将部分校正的解重新用作另一个扰动和校正周期的新起点。原则上，找到越来越好的更正的周期可能无限期。实际上，通常在一个或两个修正周期停止。该方法的常见难点在于，纠正逐渐使新解变得更加复杂，因此每个循环比上一个更正循环更难以管理。据报道，牛顿说，关于月球轨道的问题，“是我的头疼”。

这个一般程序是先进科学和工程中广泛使用的数学工具：从简化的问题开始，并逐渐增加校正，使修正后的问题与原始公式更接近地匹配。对于古代文明首先用于计算某些数字（如平方根）的“猜测，检查和修复”方法的数学函数的自然延伸。

举例

（1）“数学描述”的例子是：代数方程，微分方程（例如，运动方程或波动方程），自由能（统计力学），辐射传递一个哈米尔顿算子（量子力学）。

（2）可以在扰动中找到的解的例子：等式的解（例如，粒子的轨迹），一些物理量（例如平均磁化强度）的统计平均值，量子力学问题的基态能量。

（3）可以解决问题的例子有：线性方程式，包括线性运动方程（谐波振荡器，线性波动方程），非相互作用粒子的统计学或量子力学系统（或一般来说，仅包含术语的哈密尔顿算子或自由能所有自由度都是二次方）。

（4）处理的“扰动”的例子：对运动方程，粒子之间的相互作用的非线性贡献，哈密尔顿/自由能中的较高权力项。

（5）对于涉及粒子间相互作用的物理问题，扰动序列的项可以使用Feynman图进行显示（并进行操作）。

历史

微扰理论首先被设计为解决计算太阳系中行星运动的其他棘手问题。例如，牛顿万有引力定律解释了两个天体之间的引力，但是当第三体被添加时，问题是“每个身体如何拉动每一个”？牛顿方程只允许分析两个物体的质量。天文观测的逐渐提高的准确性导致了牛顿引力方程解的准确性的增加需求，导致了几个值得注意的18世纪和19世纪的数学家，如拉格朗日和拉普拉斯，扩展和推广了微扰理论的方法。采用这些发展良好的扰动方法，适应20世纪原子和亚原子物理学量子力学发展过程中出现的新问题。保罗·迪拉克（Paul Dirac）在1927年开发了扰动理论来评估粒子在放射性元素中的发射。后来被命名为费米的黄金法则。

行星运动研究的起点：

由于行星彼此非常遥远，由于与太阳的质量相比，它们的质量很小，所以行星之间的重力可以忽略不计，行星运动被认为是第一次逼近，因为发生了沿着开普勒的轨道，它们是由两体问题的方程定义的，两个物体是行星和太阳。

由于天文数据以更高的准确度得知，因此有必要考虑太阳周围的行星的运动如何受到其他行星的影响。这是三体问题的起源；因此，在研究月球 - 月球系统的月球与地球之间的质量比被选为小参数。拉格朗日和拉普拉斯是第一个提出这样的观点，即描述星球在太阳周围的运动的常数被“扰乱”，就像其他行星的运动一样，随着时间的推移而变化;因此称之为“微扰理论”。

微扰理论由经典学者拉普拉斯，泊松，高斯进行了调查，结果可以以非常高的精度执行计算。根据行星天王星行动的偏差，他在1848年发现了海王星的行星，他是基于行星天王星的偏差（他将坐标传递给通过望远镜成功观察海王星的约翰·戈特弗里德·加勒），代表了微扰理论的胜利。

扰动秩序

微扰理论的标准说明是以扰动的顺序为依据：一阶扰动理论或二阶扰动理论，以及扰动状态是否退化，这需要奇摄动。在单一的情况下，理论稍微复杂一点。

在化学

许多从头开始的量子化学方法直接使用微扰理论或者是密切相关的方法。隐性微扰理论从一开始就与完整的哈密尔顿算子一起工作，从未指定一个微扰算子。 Møller-Plesset扰动理论使用Hartree-Fock哈密尔顿算子和确切的非相对论哈密尔顿算子之间的差异作为扰动。零级能量是轨道能量的总和。一阶能量是Hartree-Fock能量，电子相关性包括在二阶以上。计算二阶，三阶或四阶非常常见，代码包含在大多数从头开始的量子化学程序中。相关但更准确的方法是耦合簇方法。

全国各地天气预报查询

上海市

云南省

云南省

云南省

云南省

云南省