德拜模型

计算固体热容的原子振动模型

德拜模型是由德拜提出的计算固体热容的原子振动模型。1912年，德拜改进了爱因斯坦模型，考虑热容应是原子的各种频率振动贡献的总和，得到了同实验结果符合得很好的固体热容公式。德拜模型把原子排列成晶体点阵的固体看作是一个各向同性的连续弹性媒质，原子间的作用力遵从胡克定律，组成固体的 n个原子在三维空间中集体振动的效果相当于3n个不同频率的独立线性振子的集合。

简介

每一个独立谐振子的振动是一种简正振动模式，弹性媒质的一种简正振动模式是具有一定频率、波长和传播方向的弹性波。弹性固体能够以不同的速度传播纵、横两种波。对于每一个振动频率，纵波只有在传播方向的一种振动，横波有两种垂直于传播方向的振动（两个偏振），共三个振动模式。为把固体看作是连续的弹性媒质，德拜模型只考虑那些频率非常低（近似取为零）直到极限频率vm范围内的振动模式。由于n的数目很大，3n种振动频率可看作是连续分布在零到vm区间内，则3n个不同频率的独立谐振子的总能量就由分立的求和变为积分，uo是同温度无关的常数， ρ(v)称频率分布函数。用热力学关系，由点阵振动导致的固体的定容热容是。ρ(v)的形式是其中v是固体的体积，с1、сt分别是固体中纵波和横波的传播速度。由条件可得到德拜最大频率是，而ρ(v)就可写成。令x=hv/kt，便导出了固体的摩尔热容，其中θd=hvm/k称德拜温度。上式在t>>d时导出=3r(r是摩尔气体常数)，就是经典结果；当t数值计算求积分值。对于一些简单结构的固体，其热容的理论曲线同实验结果的比较见图。图中同时画出了杜隆-珀替定律的曲线。可见，德拜模型导出的热容公式同实验符合得很好。

波处理

根据量子论，德拜所考虑的弹性波的简正振动能量也是量子化的，是最小能量hv的倍数。弹性波的这一最小能量称为声子，它是固体原子系统的集体激发模式，可看作是在点阵中传播的具有一定能量和运动方向的准粒子。把弹性声波场当作声子系统处理后，再把〖htk〗普朗克公式〖ht〗运用到固体点阵振动上，频率为v的振子振动的平均能量就是，那么3n个不同频率的独立谐振子的总能量是各振子平均能量的和。

限用情况

德拜模型不能用于以下几种情况：①较复杂的分子，特别是高度各向异性晶体，前述的频率分布函数不适用时；②波长同点阵间距离可比拟，破坏了连续媒质的设想时；③极低温度下，电子参与对热容贡献并起主要作用时（见〖htk〗电子比热容〖ht〗）。

推导

实际上，德拜用不同和更加简单的方法推出了这个方程。利用连续介质的固体力学，他发现频率小于某个特定值的振动状态的数目趋近于：

其中V是体积，F是一个因子，他从弹性系数和密度计算。把这与温度T的量子谐振子的期望能量（已经由爱因斯坦在他的模型中使用）结合，便给出能量：

如果振动频率趋于无穷大。这个形式给出了T4的表现，它在低温时是正确的。但德拜意识到N个原子不可能有超过3N个振动状态。他假设在原子固体中，振动状态的频谱将继续遵循以上的规则，到一个最大的频率νm为止，使得总的状态数目为3N：

德拜知道这个假设不是真正正确的（较高的频率比假设要更加密集），但它保证了高温时的正确表现（杜隆-珀替定律）。于是，能量由以下给出：

其中TD是hνm / k。

其中D3是一个函数，后来命名为三阶德拜函数。

设固体是N个初基原胞组成的三维单式格子，可知此时仅有3支声学支格波，并设它们的相速度vP都相同。可由格波态密度函数求出固体热容公式：

式中截止频率ωm又称为德拜频率，记为ωD。

实验比较