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量子谐振子

量子力学术语

在量子力学里，量子谐振子（英语：quantum harmonic oscillator）是经典谐振子的延伸。其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者，因为一任意势在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。此外，其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动。

一维谐振子
哈密顿算符与能量本征态
在一维谐振子问题中，一个质量为m的粒子，受到一位势。此粒子的哈密顿算符为
其中x为位置算符，而p为动量算符。第一项代表粒子动能，而第二项代表粒子处在其中的势能。为了要找到能阶以相对应的能量本征态，必须解所谓的“定态薛定谔方程”：
在坐标基底下可以解这个微分方程，用到幂级数方法。可以见到有一族的解：
最先六个解（n= 0到5）展示在右图1。函数为埃尔米特多项式：
注意到不应将之与哈密顿算符搞混，尽管哈密顿算符也标作H。相应的能阶为
值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被“量子化”（quantized），而只能有离散的值——即乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特征。在尔后的“阶梯算符”段落，将对此现象做更详细的检视。再者，可有的最低能量（当n= 0）不为零，而是，被称为“基态能量”或零点能量。在基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的“零振动”（null oscillations）且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子引力。最后一个理由式能阶值是等距的，不像玻尔模型或盒中粒子问题那样。
注意到基态的概率密度集中在原点。这表示粒子多数时间处在势阱的底部，合乎对于一几乎不带能量之状态的预期。当能量增加时，概率密度变成集中在“经典转向点”（classical turning points），其中状态能量等同于势能。这样的结果与经典谐振子相一致；经典的描述下，粒子多数时间处在（而更有机会被发现在）转向点，因为在此处粒子速度最慢。因此满足对应原理。
阶梯算符方法
前述的幂级数解虽然直观，但显得相当繁复。阶梯算符方法起自保罗·狄拉克，允许抽像求得能量本征值，而不用直接解微分方程。此外，此法很容易推广到更复杂的问题，尤其是在量子场论中。跟从此方法，定义算符a与其伴随算符（adjoint）a：
算符a并非厄米算符（Hermitian），以其与伴随算符a并不相同。
算符a与a有如下性质：
在推导a形式的过程中，已用到算符x与p（代表可观测量）为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算符的线性组合：
x与p算符遵守下面的等式，称之为正则对易关系：
方程中的方括号是常用的标记机器，称为交换子、交换算符或对易算符，其定义为
利用上面关系，可以证明如下等式：
让代表带有能量E的能量本征态。任何右括矢量（ket）与自身的内积必须是非负值，因此
将aa以哈密顿算符表示：
因此。注意到当（）为零右括矢量（亦即：长度为零的右括矢量），则不等式饱和而。很直观地，可以检查到存在有一状态满足此条件——前面段落所提到的基态（n= 0）。
利用上面等式，可以指出a及a与H的对易关系：
因此要是（）并非零右括矢量，
类似地，也可以指出
换句话说，a作用在能量为E的本征态，而产生出——还多了一个常数乘积——另一个能量为的本征态，而a作用在能量为E的本征态，产生出另一个能量为的本征态。因为这样，a称作降算符而a称作升算符。两者合称阶梯算符。在量子场论中，a与a也分别称作消灭算符与创生算符，以其分别摧毁与创造粒子——对应于能量量子。
给定任何能量本征态，可以拿降算符a作用在其上，产生了另一个能量少了的本征态。重复使用降算符，似乎可以产生能量本征态其能量低到E= −∞。不过这样就就与早先的要求相违背。因此，必须有一最底的能量本征态——基态，标示作（勿与零右括矢量混淆），使得（即a对作用后产生零右括矢量（zero ket））。
在这情况下，继续使用降算符只会产生零右括矢量，而不是产生额外的能量本征态。此外，还指出了
最后，透过将升算符作用在上，并且乘上适当的归一化因子，可以产生出一个能量本征态的无限集合使得这与前段所给的能谱相符合。
这方法也能够用来很快地找到量子谐振子的基态波函数。只要将消灭算符作用于基态，变为
所以
这个方程的解为，经过归一化，
自然长度与能量尺度
量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度，可以用来简化问题。这可以透过无量纲化来得到。结果是如果以为单位来测量能量，以及为单位来测量距离，则薛定谔方程变成：
且能量本征态与本征值变成
为了避免混淆，在此文中不采用这些自然单位。不过，这用法在执行运算上总会因便利性而迟早被使用。
案例：双原子分子
主条目：双原子分子
在双原子分子中，自然频率可以发现为：
其中为角频率，k是共价键劲度系数，是约化质量。
N维谐振子
一维谐振子很容易地推广到N维。在一维中，粒子的位置是由单一坐标x来指定的。在N维中，这由N个位置坐标所取代，以标示。对应每个位置坐标有个动量，标示为p1, ...,pN。这些算符之间的正则对易关系为
系统的哈密顿算符为
从这个哈密顿量的形式，可以发觉，N维谐振子明确地可比拟为N个质量相同，弹性常数相同，独立的一维谐振子。在这案例里，变数是N个粒子的位置坐标。这是反平方连心位势的一个优良的特性，允许位势被分离为N个项目，每一个项目只跟一个位置坐标有关。
这观察使得问题的解答变的相当简单。对于一个集合的量子数，一个N维谐振子的能量本征函数等于N个一维本征函数的乘积：
采用阶梯算符方法，定义N组阶梯算符：
类似前面所述的一维谐振子案例，可以证明每一个与算符将能量分别降低或升高。哈密顿量是
这量子系统的能阶E是
其中，正整数是的量子数。
如同一维案例，能量是量子化的。N维基态能阶是一维基态能阶的N倍。只有一点不同，在一维案例里，每一个能阶对应于一个单独的量子态。在N维案例里，除了底态能阶以外，每一个能阶都是简并的，都对应于多个量子态。
简并度可以很容易地计算出来。例如，思考三维案例，设定。每一个N相同的量子态，都会拥有相同的能量。给予N，首先选择一个。那么，，有个值，从0到，可以选择为的值。的值自动的设定为。因此，简并度是
对于N维案例，
耦合谐振子
设想N个相同质量的质点，以弹簧连结为一条一维的线形链条。标记每一个质点的离开其平衡点的位置为（也就是说，假若一个质点k位于其平衡点，则）。整个系统的哈密顿量是
其中，。
很奇妙地，这个问题可以用坐标变换来变换成一组独立的谐振子，每一个独立的谐振子对应于一个独特的晶格集体波震动。这些波震动表现出类似粒子般的性质，称为声子。许多固体的离子晶格都会产生声子。在固体物理学里，这方面的理论对于许多现象的研究与了解是非常重要的。
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