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恒等式

数学概念解析式

恒等式（identities），数学概念，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式。恒等式成立的范围是左右函数定义域的公共部分，两个独立的函数却各自有定义域，与x在非负实数集内是恒等的，而在实数集内是不恒等的。

例子
sin2α+cos2α=1
a2-b2=(a+b)(a-b)
定义
恒等式符号“≡”。
两个解析式之间的一种关系。给定两个解析式，如果对于它们的定义域（见函数）的公共部分（或公共部分的子集）的任一数或数组，都有相等的值，就称这两个解析式是恒等的。例如x2－y2与(x+y)(x－y) ，对于任一组实数(a,b)，都有a2－b2=(a+b)(a－b)，所以x2－y2与(x+y)(x－y)是恒等的。
两个解析式恒等与否不能脱离指定的数集来谈，因为同样的两个解析式，在一个数集内是恒等的，在另一个数集内可能是不恒等的。例如 与x，在非负实数集内是恒等的，而在实数集内是不恒等的。
相关联系
“函数相等”与“恒等式”之间有什么关系，由“恒等式”能得出“函数相等”吗？
数学上，恒等式是无论其变量在给定的取值范围内取何值，等式永远成立的算式。恒等式有多个变量的，也有一个变量的，若恒等式两边就一个变量，恒等式就是两个 解析式之间的一种关系。给定两个解析式，如果对于它们的定义域（见函数）的公共部分（或公共部分的子集）的任一数或数组，都有相等的值，就称这两个解析式 是恒等的。
y=f(x)与y=g(x)相等，显然f(x)=g(x)是定义域上的恒等式；若f(x)=g(x)是恒等式，那么y=f(x)与y=g(x)相等吗？看下面的例子。
1．若 是恒等式，则f(x)=与g(x)= 相等；
2．若 = 是恒等式，则 与 相等.
显然命题1和命题2都不是真命题。恒等式成立的范围是左右函数定义域的公共部分，两个独立的函数却各自有定义域。
在判定 的奇偶性时，常有学生用 的奇偶性替代，理由是 = 是恒等式，但是 与 不相等，方法错误。因为， = ，当且仅当 时候, .所以当用 代替 的时候,定义域是被放大。导致错误。
由此可得如下命题：
1.若y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，对于定义域内的任一个x均有f(x)=g(x)则y=f(x)与y=g(x)是相等函数，同时两解析式必相同。
2.若y=f(x)与y=g(x)是相等函数，则两个函数的解析式相同，于是其中的参数都能对应相等。
著名恒等式
欧拉恒等式：
eiπ+1=0，e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。它来源于eix=cosx+isinx(复数的三角表示),令x=π就得。
牛顿恒等式：
设F(X)=0的n个根X1,X2,……,Xn.对于k∈N，记Sk=X1k+X2k+……+Xnk.则有
C0Sk+C1Sk-1+……+CnSk-n=0 ，当k>0 (N1)
C0Sk+C1Sk-1+……+Ck-1S1+kCk=0 ，当1≤k≤n (N2)
乘法公式类
平方差(a+b)(a-b)=a2-b2推广：an-bn= (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+...a2bn-3+abn-2+bn-1)
立方和 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
立方差 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
和立方 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
差立方 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
函数类恒等式
其他恒等式
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