自然对数

数学概念

自然对数是以常数e为底数的对数，记作lnN（N>0）。在物理学，生物学等自然科学中有重要的意义，一般表示方法为lnx。数学中也常见以logx表示自然对数。

历史

在1614年开始有对数概念，约翰·纳皮尔以及Jost Bürgi（英语：Jost Bürgi）在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念。1742年William Jones（英语：William Jones (mathematician)）才发表了幂指数概念。按后来人的观点，Jost Bürgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数e，而约翰·纳皮尔的底数0.99999999相当接近1/e。实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，Henry Briggs（英语：Henry Briggs (mathematician)）建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部份完成了常用对数表的编制。

1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英语：Alphonse Antonio de Sarasa）将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。大约1730年，欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数。

大名鼎鼎的牛顿后来也研究过对数。现在的对数记号是大数学家欧拉在 1748年引入的，他首先开始了对指数函数做深入的研究。复变函数的建立，使得人们对对数有了彻底的了解。

e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。

自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：。

当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，在对数表中出现并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。

概念

常数e的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

自然对数的底e是由一个重要极限给出的。定义：当n趋于无穷大时， .

e是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459…，它是一个超越数。

函数类型

对数函数

当自然对数中真数为连续自变量时，称为对数函数，记作（x为自变量，y为因变量）。

反函数

历史上自然对数y=lnx的产生要比e要早些，当时人们对于微分和不定积分的求法已经熟知，并且很早就得到了幂函数的不定积分表达式。但对于n=-1的情况，因n=-1代入幂函数的不定积分表达式中将使分母为0，所以该如何求原函数，或者说到底该如何积分，数学家们采用了多种方法均无法得到满意的回答。

例如采用分部积分法，

两边减掉，将得到0=1的结论。

于是数学家们想到了利用积分变限函数来给出的原函数，即定义一个新的函数

根据这个定义立刻可以知道。并且根据可导必连续的性质，lnx在(0,+∞)上处处连续、可导。其导数为(1/x)>0，所以在(0,+∞)单调增加。又根据反常积分和分别发散至可知，函数的值域为R。虽然这与现代对数函数的运算法则和性质相符，但当时人们并没有意识到这就是对数函数，并且以e为底。

接下来人们便开始考虑y=lnx的反函数的问题。设y=lnx的反函数为x=f(y)，由反函数的求导法则可知，

如果用x来表示自变量，y来表示因变量，那么自然对数的反函数y=f(x)满足一个非常重要的性质：

即这个函数求导后仍得到它本身，并且当x=0时，y=1，这个函数写作。

由反函数的性质可知y=exp(x)是定义在R上的单调递增并且处处连续、可微的函数，其值域为(0,+∞)。由于exp(x)求导后得到它自身并且exp(0)=1，便可不断地重复该步骤，通过幂级数的知识可知exp(x)能在R上展开成麦克劳林级数：

那为什么后来人们会发现呢？这是因为当人们在求指数函数y=ax的导数时，采用了这样的方法：

根据复合函数的求导法则，。当a=e时，。上文说过，在发明自然对数时，人们不知道y=lnx与e之间的关系，所以不知道lne=1。但是，利用，结合归结原则有，于是：

所以：

由于与求导以后都得到，根据原函数的性质，，C为积分常数。将x=0代入等式两端，有1=1+C，C=0，即证明了。

数学家们才恍然大悟，原来与有着千丝万缕的联系，并且知道了是对数函数的一种，其底为e。又利用，得到了

令x=1，则又得到了一个关于e的定义式：

当然，根据，也可以将e定义为使的x的取值。

e与π的哲学意义

数学讲求规律和美学，可是圆周率π和自然对数e那样基本的常量却那么混乱，就如同两个“数学幽灵”。人们找不到π和e的数字变化的规律，可能的原因：例如：人们用的是十进制，古人掰指头数数，因为是十根指头，所以定下了十进制，而二进制才是宇宙最朴素的进制，也符合阴阳理论，1为阳，0为阴。再例如：人们把π和e与那些规整的数字比较，所以觉得e和π很乱，因此涉及“参照物”的问题。那么，如果把π和e都换算成最朴素的二进制，并且把π和e这两个混乱的数字相互比较，就会发现一部分数字规律，e的小数部分的前17位与π的小数部分的第5-21位正好是倒序关系，这么长的倒序，或许不是巧合。

说明[ ]符号内为17位倒序区。

二进制π取部分值为11.0010[01000011111101101]010100010001000010110100011

二进制e取部分值为10.[10110111111000010]101000101100010100010101110110101

17位倒序区的意义：或许暗示e和π的发展初期可能按照某种彼此相反的规律发展，之后e和π都脱离了这个规律。但是，由于2进制只用0和1来表示数，因而出现相同，倒序相同，栅栏重排相同的情况不足为奇，虽然这种情况不一定是巧合，但思辨性结论不是科学结论，不应该作为科学证据使用。

复数的对数

问题：求复数的对数，规定为的幅角主值。

解答：

设有一复数，其通过指数函数将映射为。

∴

由复数相等的定义，得到：

所以，即

记为对数函数，可以看到在复数中对数函数是多值函数（即一个自变量对应多个因变量），并且有无数个分支。特别地，当k=0时，称为对数函数的主值支，此时用记号来表示。

即w的实部为z的模取自然对数，虚部为z的幅角主值。这就是当真数为复数时的对数运算公式。注意，因为实部需要对z的模取自然对数，因此r≠0。在复平面上只有0这个复数的模为0，其他任何复数的模都大于0，所以在复数域中，除了z=0以外所有的复数都可以求对数。

例：求ln(-1)

解：-1=cosπ+isinπ，其模为1，幅角主值为π。代入公式得：

由此可见，即，这就是欧拉恒等式。

运算法则

不等式一

前面已经说过，自然对数可以利用双曲线下的面积来理解。由双曲线图象，可知：

当时，。

当时，，也就是说。

所以说：

当时，。

不等式二

由双曲线图象，可知：

当时，。

所以说：

，其中等号当且仅当时成立。

不等式三

由双曲线图象，可知：

当时，。

所以说：，其中等号当且仅当时成立。