西塔潘猜想

西塔潘20世纪90年代提出的猜想

西塔潘猜想是由英国数理逻辑学家西塔潘于上个世纪90年代提出的一个反推数学领域关于拉姆齐二染色定理证明强度的猜想。在组合数学上，拉姆齐（Ramsey）定理是要解决以下的问题：要找这样一个最小的数n，使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识。2011年5月，由北京大学、南京大学和浙江师范大学联合举办的逻辑学术会议在浙江师范大学举行，中南大学数学科学与计算技术学院酷爱数理逻辑的刘嘉忆的报告给这一悬而未决的公开问题一个否定式的回答，并彻底解决了西塔潘的猜想。R(3,3)=6，也称为拉姆齐二染色定理。

猜想简介

西塔潘猜想是由英国数理逻辑学家西塔潘于20世纪90年代提出的一个猜想。但定理以弗兰克·普伦普顿·拉姆齐正式命名，1930年其在论文One Problem in Formal Logic（《形式逻辑上的一个问题》）证明了R(3,3)=6。因此又叫拉姆齐二染色定理。

定义

拉姆齐数，用图论的语言有两种描述：

对于所有的N顶图，包含k个顶的团或l个顶的独立集。具有这样性质的最小自然数N就称为一个拉姆齐数，记作R(k,l)；

在着色理论中描述为：对于完全图Kn任意一个2边着色(e1,e2)，使得Kn[e1]里含有一个k阶子完全图，Kn[e2]含有一个l阶子的完全图，则称满足这个条件的最小的n是一个拉姆齐数。（注意的是Ki按照图论的记法表示i阶完全图）拉姆齐证明，对与给定的正整数数k及l，R(k,l)的答案为唯一和有限的。

拉姆齐数亦可推广到多于两个数：

对完全图Kn每条边都任意涂上r种颜色之一，要分别记e1,e2,e3,...,er，在Kn里，一定有一个颜色为e1的l1阶子完全图，或有一个颜色为e2的l2阶子完全图……或有一个颜色是er的lr阶子完全图。符合条件又最少的数n则记R(l1,l2,l3,...,lr;r)。

拉姆齐数的数值或上下界：

已知的拉姆齐数非常少，保罗·艾狄胥曾以一个故事来描述寻找拉姆齐数难度：“想像有队外星人军队在地球降落，要取得R(5,5)的值，否则就会毁灭地球。

在这一个情况，应该集中所有电脑和数学家尝试去找这一个数值。假如它们要求的是R(6,6)的值，那么人类应当全力发展军事力量。

相关来源

“拉姆齐二染色定理”以弗兰克·普伦普顿·拉姆齐命名。拉姆齐数的定义拉姆齐数，用图论的语言有两种描述：对于所有的N顶图，包含k个顶的团或l个顶的独立集。具有这样性质的最小自然数N就称为一个拉姆齐数，记作R(k,l)；在着色理论里是这样描述的：对于完全图Kn的任意一个2边着色(e1,e2)，要Kn[e1]中含有一个k阶子完全图，Kn[e2]含有一个l阶子完全图，则称满足这个条件的最小的n为一个拉姆齐数。（注意：Ki按照图论的记法表示i阶完全图）拉姆齐证明，对与给定的正整数k及l，R(k,l)的答案是唯一与有限的。拉姆齐数亦可推广到多于两个数：对完全图Kn的每条边都任意涂上r种颜色之一，分别记e1,e2,e3,...,er，在Kn中，必定有一个颜色为e1l1阶子完全图，或有一个颜色为e2l2阶子完全图……或有一个颜色为erlr阶子完全图。符合条件又最少的数n则记得R(l1,l2,l3,...,lr;r)。拉姆齐数的数值或上下界已知的拉姆齐数非常少，保罗·艾狄胥曾以一个故事来叙述寻找拉姆齐数的难度：“想像有外星人军队降落在地球，要求取得R(5,5)的值，不然便会毁灭地球。在这个故事里，应该集中所有电脑及数学家尝试去找这个数值。若它们要求的为R(6,6)的值，要尝试毁灭这班外星人了。”显而易见的公式： R(1,s)=1， R(2,s)=s， R(l1,l2,l3,...,lr;r)=R(l2,l1,l3,...,lr;r)=R(l3,l1,l2,...,lr;r)（将li的顺序改变并不改变拉姆齐的数值）

我们应该知道在反推数学中，研究的其实是二阶算术的各个子系统以及它们的强度关系，而最重要的是被称为 Big Five的五个子系统其中的三个 RCA 0 , WKL 0 , ACA 0，其中 WKL 0 是基本系统 RCA 0 添加弱柯尼希定理的系统，而 RCA 0 添加拉姆齐二染色定理的系统被称为 RT2 2。经过若干数学家的研究，他们发现了一些子系统间存在强弱的比较关系：和 RT2 2 形式接近的 RT3 2 比 ACA 0 要强，而 RT2 2 则不比 ACA 0 强等等，从这些结果，他们隐约认为 RT2 2 和 WKL 0 的强度是可以比较的，1995年英国数理逻辑学家西塔潘在一篇论文（On the Strength of Ramsey’s Theorem）中发现WKL_0并不强于 RT2 2 ，于是他猜测可能 RT2 2 要强于 WKL 0 。

这一猜想引发了大量研究，困扰了许多数学家十多年之久。

证明

R(3,3)等于6的证明

证明：在一个K6的完全图内，每边涂上红或蓝色，必然有一个红色的三角形或蓝色的三角形。任意选取一个端点P，它有5条边和其他端点相连。根据鸽巢原理，5条边的颜色至少有3条相同，不失一般性设这种颜色是红色。在这3条边除了P以外的3个端点，它们互相连结的边有3条。若这3条边中任何一条是红色，这条边的两个端点和P相连的2边便组成一个红色三角形。若这3条边中任何一条都不是红色，它们必然是蓝色，因此，它们组成了一个蓝色三角形。而在K5内，不一定有一个红色的三角形或蓝色的三角形。每个端点和毗邻的两个端点的线是红色，和其余两个端点的连线是蓝色即可。这个定理的通俗版本就是友谊定理。

谜解

2010年8月，酷爱数理逻辑的刘路（后改名为刘嘉忆）在自学反推数学的时候，第一次接触到这个问题，并在阅读大量文献时发现，海内外不少学者都在进行反推数学中的拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究。这是由英国数理逻辑学家西塔潘于上个世纪90年代提出的一个猜想，10多年来许多著名研究者一直努力都没有解决。2010年10月的一天，刘路突然想到利用之前用到的一个方法稍作修改便可以证明这一结论，连夜将这一证明写出来，投给了数理逻辑国际权威杂志。

2011年5月，由北京大学、南京大学和浙江师范大学联合举办的逻辑学术会议在浙江师范大学举行，还是大三学生的刘路应邀参加了这次会议，报告了他对反推数学中的拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究。刘嘉忆的报告给这一悬而未决的公开问题一个否定式的回答，彻底解决了西塔潘的猜想。

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