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整闭整环

刻画戴德金整环的重要概念

整闭整环(integrally closed domain)亦称正规环，是刻画戴德金整环的重要概念，若整环R在它的商域中整闭，称R为整闭整环。例如，单一分解环、赋值环均是整闭整环，整闭性是局部性质。

定义
一个整环叫作整闭整环，如果它在它的分式域中是整闭的。
例子
例如，是整闭的，任何唯一因子分解整环都是整闭的，特别，域上的多项式环是整闭的。
基本介绍
命题1令是环，在上整。
i) 如果b是B的理想，，那么在上整。
ii) 如果S是A的乘法封闭子集，那么在上整。
命题(1)的ii)可以加强为：
命题2 令是环，C是A在B中的整闭包，令S是A的一个乘法封闭子集，那么是在中的整闭包。
相关性质
整闭性是局部性质：
命题3 令A是一个整环，那么下列断言是等价的：
i) A是整闭的；
ii) 对每个素理想是整闭的；
iii)对每个极大理想是整闭的。
引理1 令C是A在B中的整闭包，表示在C中的扩理想，那么在B中的整闭包是的根(因此在加法和乘法之下是封闭的)。
命题4 令是整环，A是整闭的，在A的理想上整，那么在A的分式域K上代数，而且如果在K上的极小多项式是，那么位于中。
定理(“下降定理”)令是整环，A是整闭，B在A上整，令是A的素理想链， 是B的素理想链，使得，那么链可以扩充为链，使得。
命题5令A是一个整闭的整环，K是它的分式域，L是K的一个有限可分代数扩张，B是A在L中的整闭包，那么存在L在K上的基，使得。
Dedekind环
称环A为Dedekind环是说A满足下面的条件(1)一(3)。
(1) A为Noether环；
(2) A为整闭整环；
(3) 除0以外的A的素理想(ideal)均为极大理想。
这里我们来解释一下所用术语的意思。A为Noether环是说A满足下述条件(1)。
(1) A的任意理想均为有限生成。
这个条件与下述(2)一(4)中任一个均等价。
(2) 设为A的理想的递增序列，则存在N使得
(3) 设为A的理想组成的非空集合，则存在属于的满足条件“如果且，则”．
(4) 有限生成A模的子模也是有限生成的。
称A为整环是说A为非零环，而且满足条件
对于，若则或或.
当A为环B的子环时，称B的元x在A上整是说x满足某个A系数方程
(，为自然数)
环B中所有在A上整的元全体{ | 在A上整}构成了B的子环，称之为A在B中的整闭包。当A为整环时，A在A的分式域中的整闭包被简单地称为A的整闭包，当A与A的整闭包相同时，则说A为整闭。
称环A的理想为素理想是说，剩余环为整环，这个条件等价于满足下面的条件(1)，(2)。
(1)若，则或或；
(2) 。
称A的理想为极大是说剩余环为域，这个条件等价于满足下面的条件(1)，(2)。
(1)包含的A的理想只有A或是自己；
(2)。
极大理想是素理想，反过来不成立，例如的素理想0。
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