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极大理想

特殊理想

设R是一个环，I是R的真理想，若不存在R的理想J,使I⊂J⊂R,则称I是R的一个极大理想(maximal ideal)。类似地，可定义极大理想，任意有单位元的环一定有极大理想，a是R的极大理想当且仅当R/a是单纯环，若R是有1的交换环，则a是R的极大理想当且仅当R/a是域，极大理想在局部环的研究中尤为重要。

定义
设M是环R的一个理想，且，如果除R和M外，R中没有包含M的其他理想，则称M为环R的一个极大理想。
性质
1.非零幺环存在极大理想。
2.交换环R满足R2=R，则R中每个极大理想都是素理想。
3.设为域k上代数同态，是B的一个极大理想。若B是有限生成的，则原像也是A的极大理想。
4.设K为域，为Kn的点。则为K上n元多项式环的极大理想。
5.设为代数闭域K上n元多项式环的极大理想，则Kn存在点满足。
6.设K为代数闭域，S为K上n元多项式环的子集，则仿射簇与所有包含S的K上n元多项式环的极大理想的集合一一对应。
定理
定理1
设N是整数环Z的一个理想，则
是极大理想由素数生成．
证明 设是素数，又K是Z的一个理想，且
令，则，只有或p，即只有
或
从而是Z的极大理想。
反之，设N是Z的极大理想，由于Z的理想都是主理想，故可设，且不妨设n是正整数，如果n是合数，令
则Z的理想，但却有
这与N是Z的极大理想矛盾，故n必为素数。(证毕)。
根据这个定理，并由例1可知，除平凡理想外，整数环的素理想和极大理想是一致的，但是，对有些环来说并不是这样。
定理2
设N是环R的一个理想，则
是极大理想今是单环．
证明 用表示R到R=R/N的自然同态。
设N是R的一个极大理想，而为的任一非零理想，则由相应定理知，在之下的逆像K是R的一个理想。由于，而的逆像为N，故，又因，故，即，但N是R的极大理想，故
即只有平凡理想，R/N是单环。
反之，设是单环，K是R的一个理想，且
则．但由于，故，又因是单环，故。
任取，则，从而有使
于是因此，即N是R的极大理想。(证毕)。
我们知道，域是单环，以下将指出，在一定条件下其逆也成立。
定理3
设交换幺环R是一个单环，R是一个域。
证明 在R中任取，则．但R是单环，只有平凡理想，故
于是单位元，但对有单位元的交换环来说，中元素都可表为
于是，其中，即R中每个非零元都有逆元，从而R是一个域。(证毕)。
由以上两个定理立即可得下面推论。
推论1
设R是一个交换幺环，，则
是极大理想是域．
证明 设R/N是域，而域是单环，于是由定理2知，N是R的一个极大理想。
反之，设N是R的一个极大理想，由定理2，R/N是单环，又因环R有单位元且可换，从而R/N也有单位元且可换，故由定理3，R/N是一个域。(证毕)。
根据这个推论，再结合定理1又可得下面推论。
推论2
交换幺环的极大理想必为素理想。
这样，在交换幺环中，只要给出一个极大理想，便可立即得到一个与这个环有密切联系的域，于是，可以通过所得到的域进一步研究所给的环。
例2 由素数p生成的理想是整数环Z的极大理想，而Z有单位元且可换，故由推论1知，即是一个域。
这样，我们从极大理想出发，又一次证明了是一个域。
例子
在模8剩余类环中，理想不是的素理想(因为，但是)，也不是的极大理想(因为)。但是，易知理想既是的素理想也是的极大理想。
应该注意的是，素理想是在交换环内定义的，但极大理想并无这种限制。
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