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局部环

交换幺环

在数学中，局部环是只有一个极大理想的交换幺环。

定义
设为交换幺环。若仅有一个极大理想，则称（或）为局部环。域称为的剩余域。
若中仅有有限个极大理想，则称之为半局部环。
一个局部环上带有一个自然的-进拓扑，使得成为拓扑环；其开集由生成。当 为诺特环时，可证明为豪斯多夫空间，且所有理想皆是闭理想。
设为局部环，环同态被称为局部同态，当且仅当。
性质
除了交换幺环R本身以外，R的所有理想均包含于其唯一的极大理想。
例子
1.域是局部环。
2.设K[x]为域上多项式环，则K[x]/(x2)为局部环。
3.域上形式幂级数环是局部环，其中是个域。极大理想是。
取系数在或上，原点附近收敛半径为正的幂级数，它构成一个局部环，极大理想表法同上。
凡赋值环皆为局部环。
设为交换幺环，为其素理想，为乘性子集，则相应的局部化是局部环；这也是局部环应用的主要场合。若已是局部环，则。
局部环的商环仍是局部环。
应用
簇的局部环
设V为不可约仿射簇，则V在点P的局部环为
其极大理想为
动机与几何诠释
局部环意在描述一个点附近的函数芽。设为拓扑空间，或，且。考虑所有资料，其中是的一个开邻域，而是连续函数。引入等价关系：
且是的开邻域。
换言之，若两个函数在附近一致，则视之等同。上述等价类在逐点的加法及乘法下构成一个环，其元素称作在的连续函数芽，它体现了连续函数在附近的行为。若满足，则存在一个的开邻域及连续函数，使得且恒非零，因此可定义乘法逆元。于是是局部环，其唯一的极大理想是所有在点取零的函数，剩余域则是。
类似想法可施于微分流形、解析流形或复流形，稍作修改后亦可推广至代数簇与概形。
在代数几何与复几何中，假设适当的有限性条件（例如凝聚性）， 若一陈述对某一点的芽成立，则在该点的某个开邻域上皆成立；就此而论，局部环集中表现了一点附近的局部性质。
在交换代数中，局部化的技术往往可将问题化约到局部环上；因此交换代数的许多定义与结果都落在局部环的框架内。
非交换的情形
一个含么环被称作局部环，当且仅当它满足下述等价条件：
R 仅有一个极大左理想。
R 仅有一个极大右理想。
，且任两个非可逆元的和仍为非可逆元。
，且对任何元素或必有一者可逆。
，若中某个有限和是可逆元，则其中某项必可逆。
当上述任一性质成立，则下述三者等同：
对于交换环，上述定义化为交换局部环的原始定义。
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