赋值环

一种特殊的局部环

赋值环(valuation ring)是一种特殊的局部环。也是重要的交换环类。交换环R称为赋值环。赋值环是交换的特殊序列。它与戴德金环有密切的关系。事实上，交换诺特局部整环是赋值环当且仅当它是戴德金环。

概念

赋值环(valuation ring)是一种特殊的局部环。也是重要的交换环类。

定义

定义1

设B为域K的子环，若给定K中任意非零元x，要么x∈B，要么x-1∈B，则称B为K中赋值环。

定义2

若v为K上取值于全序阿贝尔群G的赋值，则R={x∈K|v(x)≥0}∪{0}为K的子环，称为v的赋值环。

如果一个整环是其分式域对某赋值的赋值环，则该整环称为赋值环。

定义3

交换环R称为赋值环，是指它满足以下等价条件之一：

1.对任意a，b∈R，恒有a∈Rb或b∈Ra，换言之，必有a整除b或b整除a。

2.R的所有理想(对于包含关系)组成线性序集。

3.R是局部环且任意有限生成理想是主理想。满足条件3的环也称为贝祖特环。

性质

赋值环是整闭整环。

历史背景

赋值环是交换的特殊序列。它与戴德金环有密切的关系。事实上，交换诺特局部整环是赋值环当且仅当它是戴德金环。赋值环上的模具有良好的分解性质，马特利斯(Matlis，E.)于1957年证明：赋值环R上任意有限生成模M的内射包E(M)是有限个不可分解内射模的直和，或等价于M有有限哥尔迪维数。赋值环R上任意有限表示模是循环表示模的直和，从而推广了卡普兰斯基(Kaplansky，I.)的工作。

环

环是对并与差运算封闭的集类，测度论

的全体构成的集类，则F是R上的一个环.环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。

局部环

它和半局部环分别是完全准素环和半准素环概念的推广。环R(≠0)中，若不可逆元(即非单位)集A对于加法是封闭的，则R称为局部环。以下性质是等价的：

1.R是局部环。

2.R中不可逆元的集A是(双边)理想。

3.A是极大左(右)理想。

4.对于任意r∈R，r或1-r必是左(右)可逆元。

5.R的雅各布森根J(R)是极大左(右)理想。

6.R/J(R)是除环。

7.J(R)=A={x∈R|Rx≠R}(x称为非生成子)。

若R/R(J)是半单的，则称R是半局部的。局部环的概念对于模的分解性质十分重要。对于任意R模M，若M的自同态环End(M)是局部的，则M是不可分解的.反之，若M是不可分解且是内射的，则End(M)是局部环。东屋五郎(Azumaya，G.)曾利用局部环的概念，把古典的克鲁尔-锐玛克-施密特定理推广为项数可以是无穷的情形。局部环也具有特殊的同调性质。卡普兰斯基(Kaplansky，I.)于1958年证明：对于局部环R，任意R投射模是R自由的。

环论

抽象代数学的主要分支之一。它是具有两个运算的代数系。在非空集合R中定义加法“+”和乘法“·”运算，使得R中任意元a，b，c适合条件：

1.R对加法为交换群，称为R的加法群，记为(R，+)；

2.R对乘法适合结合律，即(R，·)是半群，称为R的乘法半群；

3.乘法对加法的左、右分配律成立，即a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律)；

则称R为结合环，简称环(通常a·b写为ab)。它是环论研究的主要对象。环论起源于19世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密顿(Hamilton，W.R.)等人对超复数系的建立和研究。韦德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)于1907年给出的结构定理给出代数研究的模式，也成为环结构研究的模式。20世纪20-30年代，诺特(Noether，E.)建立了环的理想理论，阿廷(Artin，E.)又将代数结构定理推广到有极小条件的环。同时，对非极小条件的环，冯·诺伊曼(von Nenmann，H.)建立了正则环理论，相继盖尔范德(Гельфанд，И.М.)创立了赋值环，克鲁尔(Krull，W.)建立了局部环理论，以及哥尔迪(Goldie，A.W.)完善了极大条件环理论。

20世纪40年代，根论迅速发展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)于1945年引入的被称为雅各布森根的概念后，建立了本原环理论、半本原环的结构定理与本原环的稠密性定理，完善和深化了不带附加条件环的理论。20世纪50年代中期，阿密苏(Amitsur，S.A.)、库洛什(Kurosh，A.)创立了根的一般理论，环论已趋完善。

另一方面，由群表示研究的影响，产生模、群环与分次环的理论。20世纪20年代初，诺特引入了模的概念，并研究模对有限群表示的作用与环结构之间的关系，用模的语言去刻画环，特别是20世纪50年代以后，同调代数的迅速发展，使环的理论进入更高层次虽然，早在1854年，凯莱(Cayley，A.)就引入了群代数，然而，它的研究是从20世纪30年代开始直到60—70年代，受群表示论与环的理论的推动才蓬勃发展起来的。20世纪70年代后，由于分次代数的推动，群代数进入新的阶段——交叉积的研究。分次环与模发展的另一动力是交换代数几何中射影代数簇，20世纪70年代以来，由于非交换代数几何及群表示论的推动，环论已进入一个新的阶段。

戴德金环

理想可以惟一素分解的环。最重要的例子是：数域的整数环、光滑曲线的坐标环。按定义，满足下述三条件的整环R称为戴德金环：

1.R是诺特环。

2.R的真素理想均为极大理想。

3.R在其商域F(≠R)中是整闭的。

事实上，对每个戴德金环R及其商域F，总存在F的离散素除子集S使{F，S}为普通算术域而R为S整数环。整环R(≠其商域F)为戴德金环当且仅当其每个真理想均为极大理想的积；也等价于其每个分式理想均可逆，即分式理想全体构成群。戴德金环R在其商域F的有限可分扩张E中的整闭包RE也为戴德金环，且E是RE的商域。

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