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方向导数

函数定义域的内点对某一方向求导得到的导数

方向导数是在函数定义域的内点对某一方向求导得到的导数，一般为二元函数和三元函数的方向导数。方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。

定义
设函数z=f(x,y) 在点P(x,y)的某一邻域U(P)内有定义，自点P引射线 ，自x轴的正向到射线 的转角为 ， 为 上的另一点，若 存在，则称此极限值为 在点P沿方向 的方向导数，记作 ．其计算公式为
三元函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)沿着方向 (方向角为 )的方向导数的定义为
其中 且 为 上的点，其计算公式为 .
沿直线方向
设 为数量场u=u(M) 中的一点，从点 出发引一
条射线 (其方向用 表示)，在 上点 的邻近取一动点 ，记 ，如图《沿直线的方向导数》所示，若当 时，分式 的极限存在，则称它为函数 在点 处沿 方向的方向导数，记作 ，即
方向导数 是在点M 处函数u(M) 沿方向 的对距离的变化率．故(1)当 时，函数u 沿 方向就是增加的；(2)当 时，函数u 沿 方向就是减少的．
在直角坐标系中，方向导数由下面定理给出计算公式。
1.若函数 在点 处可微， 为 方向的方向余弦，则函数u 在点 处沿 方向的方向导数必存在，且满足
证，设动点 的坐标为
2.若在有向曲线C上取一定点 作为计算弧长s的起点，若以C的正向作为s增大的方向；M为C上的一点，在点M处沿C的正向作一与C相切的射线 (其方向用 表示)，则当函数u可微、曲线C光滑时，u在点M处沿 方向的方向导数就等于u对s的全导数，即
证，曲线C是光滑的，其参数方程为x=x(s),y=y(s),z=z(s)，函数u=u[x(s),y(s),z(s)],
沿曲线方向
如图《沿曲线方向的方向导数》所示，设 为数量场u=u(M)中曲线C上的一点，在点 的邻近取一动点M，记 ，若当 时，分式
的极限存在，则称它为函数u(M)在点 处沿曲线(正向)方向的方向导数，记作
当曲线C光滑时，在点M处函数u可微，函数u沿C方向的方向导数就等于u对s的全导数，则有
证 因为当曲线C光滑时，在点M处函数u可微，故全导数 存在．
，当 存在时，有 。
推论 若曲线C 光滑时，在点M处函数u可微，函数u在点M处沿C方向的方向导数就等于函数u在点M处沿C的切线方向 (C正向一侧)的方向导数，即
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