星形线

内摆线的一种

星形线是内摆线的一种。

简介

星形线（Astroid）星形线的方程

直角坐标方程：x2/3+y2/3=a2/3

参数方程：x=a*(cost)3,y=a*(sint)3 （t为参数）

它所包围的面积为3πa2/8。

它与x轴围成的区域绕x轴旋转而成的旋转体表面积为12πa2/5。

体积为32πa3/105。

详细介绍

星形线（astroid）或称为四尖瓣线（tetracuspid），是一个有四个尖点的内摆线，也属于超椭圆的一种。所有星形线皆可以依以下的方程式比例缩放而得：

其英文名称得名自希腊文的星星，星形线几乎和椭圆的渐屈线相同。

若让一个半径为1/4的圆在一个半径为1的圆内部，延著圆的圆周旋转，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线。星形线的参数方程为：

星形线是一个几何亏格为0代数曲线的实数轨迹，其方程式如下：

因此星形线为六次曲线，在实数平面上有四个尖瓣的奇点，分别是星形线的四个顶点，在无限远处还有二个复数的尖瓣的奇点，四个重根的复数奇点，因此星形线共有十个奇点。

星形线的对偶曲线是十字架形曲线，其方程式为。星形线的渐屈线为另一个二倍大的渐屈线。

一个半径为 a之圆的内摆线构成的星形线，其面积为，周长为6a。

星形线的性质

最先对星形线进行研究是Johann Bernouli。星形线由于有四个尖端，所以有时也被称为四尖内摆线(tetracuspid)。星形线于1836年被正式定名，首次出现在正式出版的图书（出版于维也纳）中。星形线还有许多有趣的名称：cubocycloid和paracycle。

若星形线上某一点切线为T，则其斜率为tan(p)，其中p为极坐标中的参数。相应的切线方程为

T: x*sin(p)+y*cos(p)=a*sin(2p)/2 。

如果切线T分别交x、y轴于点x(X,0)、y(0,Y)，则线段xy恒为常数，且为a。

星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的。

在第一象限星形线也可表示为靠在Y轴上一个线段在重力作用下扫过的图形的包络曲线。

(阴影里的另一个弧是圆的一部分以做对比)

星形线的应用

星形线与汽车门

我们知道，世界上有许多伟大的建筑，门的设计也是建筑家特别注意的。但是，最普通的门只有两种：完整一扇和对开的两扇。普通的房门是完整的一扇，一般的校门是对开的两扇，而公共汽车的门不但是对开的两扇，而且每一扇都由相同的两半用铰链铰接而成。开门关门时，以靠近门轴的半扇绕着门轴旋转，另半扇的外端沿着连接两个门轴的滑槽滑动，开门时一扇门折拢成为半扇，关门时又重新伸展成一扇。公共汽车的这个特殊门是根据星形线设计制造的。

星形线像夜空中光芒四射的星星，因此得名。在纸上任意作若干条长度为R的线段，使它们的两端分别在x轴和y轴上，然后在每一象限里画一段光滑的曲线弧，使它们与这些线段相切，这样一条星形线就画出来了。由画图过程可以看出，星形线是由一组直线包络构成的。

一扇折叠式的公共汽车车门可以表示成平面形式，其中O是门轴，OB为滑槽。在车门开闭过程中，定长BC的两端分别沿x轴和y轴滑动，因此可得到一条星形线，但由于车门只是在第一象限活动，所以一扇车门实际活动的过程如上图的形状，它是由圆弧MN和星形线弧NP构成。也就是说这扇车门活动的范围，由扇形OMN的面积、三角形ONQ的面积与星形线弧所组成的曲边三角形面积的和所组成。

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