有序域

具有全序关系且序关系满足一定规律的域

有序域是具有全序关系，且序关系满足一定规律的域。偏序集的概念(参看“偏序关系”)可以推广到代数系上讨论，可以定义偏序群及偏序环等概念。若是群，且是偏序集，适合条件：若a≤b，且∀c∈G，ac≤bc，ca≤cb，则称为偏序群。例如，，都是偏序群，且都是全序群，即对给定关系≤，它们的任二元均可比较。但关系≤不能使成为偏序群，虽然是群(即非0实数乘群)，因为只对c>0，a≤b时，才有ac≤bc成立。而不是对任意c成立。若是环，是偏序集，使得是偏序群，且若a≤b，0称为偏序环。例如，，，都是偏序环，且是全序环；特别，，还都是全序域。全序集亦称有序集。全序群、全序环、全序域亦相应地称为有序群、有序环、有序域。

定义

定义1 如果对域K赋予了一个全序>，使当a>b时，对任何有；又当a>b且c>0时，有ac>bc，则称K为有序域(ordered field)。满足a>0的元素a称为正元，满足a<0的元素a称为负元。

定义2设R是环并且R的元数>1，如果存在集R的一个序关系<，并且满足条件：

1)对任意a，b∈R，由a

2)对任意a，b∈R，由a0有ac

那么叫做R关于<是有序环，简称R是有序环。如果域F作为环来说是有序环，那么叫做F是有序域。

定义中的两个条件把序关系<分别同R的加法和乘法联系起来。

例1关于数的小于关系是有序环，而与关于数的小子关系分别是有序域。

定义3 设R是环，R的元数>1，如果在R中能够指定一个子集P具有以下性质：

1) 对任意a∈R以下三种情况

有而且只有一种成立。

2)对任意a，b∈P，有

那么R叫做有序环(当R是域时叫做有序域)。

定义2和定义3是等价的。

重要性质

有序环(特别是有序域)有以下基本而重要的性质。

1) 如果a0，那么ca

证：由a0，由0

定义4设A是一个非空集，是A的一个关系，如果具有性质：

①三歧性对任意，以下三种情况

有而且只有一种成立。

②传递性对任意，由可推出，那么叫做A的一个序关系，A叫做关于的一个有序集，或简单地说A是有序集，并且可将表示为<，表示为aa，空集也认为是有序集。

2) 如果a

证：由a

3)如果a>0，那么--a<0，如果a<0，那么-a>0，

如果abc，

如果0

如果abd。 “

证：只证第一个。因为a>0，所以a-a>-a，0>-a，即-a<0。

4)在有序环中，元素的平方和大于或等于零．而且只有当这些元素都是零时才等于零。

5)有序环没有零因子。

证：设R是有序环，a，b∈R并且a≠0，b≠0。由定义4的1)有a>0或a<0，b>0或b<0.根据定义2的2)及上逑性质3)，当a>0，b<0时有ab<0；当a>0，b>0时有ab>0；当a<0，b>0时有ab<0；当a<0，b<0时有ab>0。由此可见无论哪种情况都有ab≠0，因而R没有零因子。

6) 有序环如果有单位元1，那么1>0。

证：因为环R的元数>1，可知1≠0，又因为12=1，由上述性质4)可得1>0。

7) 有序环的特征是零．

8) 在有序域中，

如果a>0，那么；如果a<0，那么。

如果bd>0，那么当且仅当ad

9) 设R是元数>1并且没有零因子的交换环，Q是R的分式域。如果R是有序环，那么Q是有序域，如果还要求Q的序局限在R中就是R的序，那么只有唯一方法使Q是有序域。

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