极大线性无关组

数学学科概念

极大线性无关组（maximal linearly independent system）是在线性空间中拥有向量个数最多的线性无关向量组。

简介

极大线性无关组（maximal linearly independent system）是线性空间的基对向量集的推广。设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。V中子集的极大线性无关组不是惟一的，例如，V的基都是V的极大线性无关组。它们所含的向量个数（基数）相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数（基数），称为S的秩。只含零向量的子集的秩是零。V的任一子集都与它的极大线性无关组等价。特别地，当S等于V且V是有限维线性空间时，S的秩就是V的维数。

定义

设有向量组：，若中能选出r个向量，满足:

(1)向量组：线性无关；

(2) 向量组中任意r+1个向量（若有的话）都线性相关，则称向量组是向量组A的一个极大线性无关组（简称为极大无关组）。

基本性质

（1）只含零向量的向量组没有极大无关组；

（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；

（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；

（4）齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。

（5）任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

（6）一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

（7）若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

求解方法

扩充法

给定一个非零向量组，

（1）先找一个非零向量，不妨设，则线性无关，保留 ;

（2）加入，如果，线性相关，就去掉，如果，线性无关，就保留下来；

（3）这样依次进行下去，最终可以将逐步扩充成一个极大线性无关组。

初等变换法

如果矩阵经过初等行变换化为，则是的列向量组的极大线性无关组的充要条件是是的列向量组的极大线性无关组，其中。

矩阵的秩

向量组的极大线性无关组是不唯一的, 但其极大线性无关组中所含向量的个数是唯一的, 并将其称为该向量组的秩。由于矩阵的秩就是该矩阵的行向量组或列向量组的极大线性无关组所含向量的个数, 所以可以用向量组的极大线性无关组来确定一些矩阵秩的范围。

定理1

若向量组可由向量组线性表示, 则向量组的秩不超过向量组的秩。

定理2

设A与B都是m×n矩阵, 则R(A+B)≤R(A)+R (B) 。

定理3

设A为m×n矩阵, B为n×s矩阵, 则R(AB) ≤ min (R(A),R(B)) 。

线性方程组解的结构

矩阵的初等变换可以反映用消元法解线性方程组的实质, 初等变换的结果是去掉了原方程组多余的方程, 以此确定相应方程组中独立的方程个数, 使得线性方程组的结构更加清晰。

从线性相关性的角度就是确定线性方程组对应的增广矩阵的行向量组以及列向量组的极大线性无关组, 行向量组的极大线性无关组确定独立方程的个数, 列向量组的极大线性无关组确定线性方程组解的结构。

定理1

设方程组对应的矩阵系数矩阵为A, 增广矩阵为B，且R (A) =R (B) =r≠0, 则在方程组中存在r个方程, 使得解方程组可以归结为解由这r个方程所组成的线性方程组。

定理2

设方程组对应矩阵的系数矩阵为A, 增广矩阵为B，且R (A) =R (B) =r≠0,

（1）当r=n时, 方程组有唯一解;

（2）当r