正则性

数学术语

正则性英文是regularity，正则性一般用来刻画函数的光滑程度，正则性越高，函数的光滑性越好。通常用Lipschitz指数k来表征函数的正则性。

释义

1、正则性英文是regularity，正则性一般用来刻画函数的光滑程度，正则性越高，函数的光滑性越好。通常用Lipschitz指数k来表征函数的正则性。Lipschitz指数刻画了函数f与局部多项式的逼近程度，而函数与局部多项式的逼近程度又与函数的可微性相联系。如果函数在时刻t有奇异性则说明函数在t点不可微，因而在t点的Lipschitz指数刻画了该函数的奇异性行为。当然，还可以定义函数在区间上的正则性。小波基的正则性主要影响着小波系数重构的稳定性，通常对小波要求一定的正则性（光滑性）是为了获得更好的重构信号。小波函数与尺度函数具有相同的正则性，因为小波函数是由相应的尺度函数平移的线性组合构成的，因此，我们说尺度函数的正则性，也就是说小波函数的正则性。另外，消失矩和正则性之间还有很大关系，对很多重要的小波（比如，样条小波，Daubechies小波等）来说，随着消失矩的增加，小波的正则性变大，但是，并不能说随着小波消失矩的增加，小波的正则性一定增加，有的反而变小。

2、若自变量x1=…=xm，此时函数f(x1,…,xm)=x1，则说函数f(x1,…,xm)满足正则性。

举例

例如，如果函数f在点t0是Lipschitz α 的，α 大于n（n大于1），那么函数f在t0点就是n次连续可微的，并且该函数可以用n次多项式来逼近。

正则性刻画

一个函数的赫尔德指数反映了函数的正则性，即光滑性。小波变换的一个重要性质就是可以刻画函数的正则性。具体表述为：如果ψ(x)是一个具有紧支集的小波，设f(x)∈L(R)有界并且连续，那么当且仅当存在常数C>0，使：

成立时，f(x)是α(0<α≤1)次赫尔德连续的。

赫尔德

德国数学家。生于斯图加特(Stuttgart)，卒于莱比锡。1877年入柏林大学学习，1882年获博士学位。1884年任格丁根大学讲师，不久成为蒂宾根大学副教授。1894年受聘为柯尼斯堡大学教授。1899年任莱比锡大学教授，并被选为科学院院长，巴伐利亚(Bavaria)科学院通讯院士(1927)。赫尔德在数学分析、函数论、级数论、群论、几何学、数学基础等方面作出了重要贡献。他提出了后来以其名字命名的体积密度连续性条件，提出了以算术方法求和的法则。给外尔斯特拉斯定理——解析函数可任意接近其本性奇点邻域中的每一个值——提供了第一个完整的证明。研究了其幂级数在收敛圆周上的点发散的解析函数。论证了它们在收敛圆周上点的极限值是可以计算出来的。考察了不必连续或不必有界的函数的傅立叶级数的收敛性。首先将傅立叶系数定义为非正常积分的新形式。作出了在数学分析中有广泛应用的赫尔德不等式，包含了施瓦尔兹不等式对一般指数推广的情形。研究了正规链理论，得出了在群论中有重要意义的若尔当一赫尔德序列和若尔当—赫尔德定理。考察了单群理论，探讨了商群和正规子群所构成的群的结构。在几何学和数学基础方面，有《几何学中的观点和思想》(Anschauungen und Denken inder Geometrie，1900)《数学方法》( Die mathematische Methode，1924)等著作。赫尔德也很注意研究与物理学密切相关的数学问题，例如，他论证了哈密顿变分原理对于非完整运动(nonholonomic mo-tion)同样是有效的。

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