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正定函数

数学领域术语

正定函数是一个在许多领域都会遇到并且很有用的概念。如概率论中随机变量的特征函数就是正定函数。特征函数比随机变量的分布函数更易于处理。在Lyapunov稳定性理论中，Lyapunov函数的正定及其导数的负定说明了系统的稳定性。

定义
设 ⊂ 是包含原点的一个区域，如果定义在 上的连续函数 满足： ，以及 ， 且 。则称 是正定的。如果只满足弱一点的条件，对 ，只有 ，则称 为半正定的。
此外，如果 是正定的或者半正定的，则称 是负定的或者半负定的。如果不能断定 为四种情况中的某一种，则称它是不定的。
应用
Lyapunov稳定性
设⊂是包含原点的一个区域，为定义在上满足局部Lipschitz条件，且。对于系统，如果存在一个连续可微的正定函数使得为半负定，则原点为系统的稳定平衡点。如果进一步使得为负定的，则原点具有渐近稳定性；如果还满足径向无界，则原点具有全局渐近稳定性。
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