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正规扩张

抽象代数中的概念

正规扩张是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。一个域扩张L/K是正规扩张当且仅当扩域L是多项式环K[X]中的某个多项式的分裂域。布尔巴基学派将这类扩张称为“准伽罗瓦扩张”。正规扩张是代数扩张的一种。

定义
正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画（有限）正规扩张，是三个等价的定义。域扩张L/K是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个：
例子
是的一个正规扩张，因为它是上的多项式的分裂域。然而，并不是的一个正规扩张，因为上的不可约多项式有一个根：在里面，但它的另外两个根：和都是复数，不在里面。只有在加入了三次单位根：后的扩域才是一个正规扩张。
也可以用正规扩张的第二个定义来证明不是的正规扩张。设域是由所有复代数数生成的扩域，则是的一个代数闭包，并且在里面。另一方面，
并且，如果记是的复根之一，那么映射：
是在上的一个嵌入，并且它限制在上的部分是平凡的（将中元素映射到自己）。但是σ并不是上的自同构。
更一般地，对每一个素数p，域扩张都是的一个正规扩张，扩张的次数是p(p-1)。是上的多项式的分裂域。其中的是任意一个复数p次单位根。
性质
设有域扩张L/K，那么：
1) 如果L是K的正规扩张，并且F是一个子扩张（也就是说有扩张K⊂F⊂L）那么L也是F的正规扩张。
2) 如果L的子域E和F都是K的正规扩张，那么两者的复合扩张EF（指L的子域中同时包含E和F的最小者）以及两者的交E∩F也都是K的正规扩张。
正规闭包
设有域扩张L/K，那么总存在域扩张M/L，使得M/K是正规扩张。在同构意义上，最小的这样的扩张是唯一。即是说，其他的域扩张N/L如果使得N/K是正规扩张，那么总存在N/L的子扩张M'/L，使得M'同构于M。这个唯一的“最小”正规扩张M/L称为域扩张L/K的正规闭包。
如果L/K是有限扩张，那么它的正规闭包M/L也是有限扩张（因此M/K也是有限扩张）。
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