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波莱尔集类

数学术语

波莱尔集类(collection of Borel sets)深人讨论函数的连续性、可微性、可积性时必不可少的重要集类。

简介
由R”中半开区间组成的半环所生成的。代数，称为R”上的波莱尔集类.也可定义为R”中的闭集(开集)全体生成的。代数，它是由波莱尔(Borel ,(F. -E. -J. -)E.)于1898年引人的，故以此而命名。
这种集类在测度论、概率论、遍历理论等数学分支中均有广泛应用。在一般拓扑空间中可类似地引人波莱尔集类。
波莱尔集
波莱尔集，在一个拓扑空间中，从所有的开集出发，通过取补集，可数并，可数交等运算，构造出来的所有集合，统称为这一个空间中的波莱尔集。
在数学中，对波莱尔集的研究主要是在描述集合论中。但是，大学数学系的学生通常是在实变函数论的课程中最早接触到波莱尔集。
波莱尔集可以分成很多的层次。通常把开集和闭集定义为第一层。可数的开集的交集，可数个闭集的并集为第二层。依此类推，总的层次超过了可数层。
波莱尔集是由开集或闭集通过取并，取交或者取补形成的拓扑空间中的任何集合。
对于拓扑空间X，X上的所有波莱尔集的集合形成σ-代数，称为波莱尔代数或波莱尔σ-代数。 X上的波莱尔代数是包含所有开集（或所有闭集）的最小σ-代数。
波莱尔集在测度论中是很重要的，因为任何度量都在该空间上的开集和闭集以及波莱尔集上定义。在波莱尔集上定义的任何测度都被称为波莱尔测度。 波莱尔集和相关的波莱尔层也在集合理论中发挥关键性作用。
在某些情况下，波莱尔集被定义为由拓扑空间的紧集而不是开集生成。这两个定义对于许多空间（包括所有豪斯多夫σ-紧集）来说是等价的，但在病态空间中可以是不同的。
相关研究
在古尔萨、庞加莱等人关于分式级数∑An/(z-an)研究的基础上，波莱尔对其进行了深入研究，提出半单演函数理论。基于原始文献，深入探讨了波莱尔在单演函数理论上的工作，分析了其思想背景、思想的演变过程以及影响，这对揭示单演函数理论的历史发展有一定作用。
波莱尔在测度理论方面的工作奠定了现代测度理论和积分理论发展的基础，对勒贝格的积分工作有重要影响。他利用零测集理论和构造性方法给出了与勒贝格不同的积分理论，这一点很少有相关文章和著作进行介绍。基于原始文献，利用历史分析和比较的方法对波莱尔的积分理论进行探讨，对理解积分理论的历史发展有重要意义。
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