洛必达法则

确定未定式值的方法

洛必达法则是微分学的一个重要定理，是求解未定型极限的有效方法之一。这一方法主要运用于分数形式的未定型极限的计算，但在具体求解过程中需要对具体问题具体分析，判断其是否满足洛必达法则的运算条件。

计算公式

零比零型

若函数和满足下列条件：

⑴ ，；

⑵ 在点的某去心邻域内两者都可导，且；

⑶ （可为实数，也可为 ±∞ ），则

无穷比无穷型

若函数和满足下列条件：

⑴ ，；

⑵ 在点的某去心邻域内两者都可导，且；

⑶ （可为实数，也可为或），则

其他不定式

不定式极限还有，，，，等类型。经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。

（1）型

可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为型或型。

例：求

解：原式=

（2）型

把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为型。

例：求

解：原式=

（3）型

可利用对数性质将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。变化方法如下

同时针对不同的问题，ln(1+x)~x当x→1+时 x-1→0，还可以利用等价无穷小作替换，化简算式。

例：求

解：原式= = = = =

= ，上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把替换成了。

（4）型

同上面的化简方法

例：求

解：原式=

（5）型

同上面的化简方法

例：求

解：原式=

注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。

定理推广

⑴ 该定理所有条件中，对的情况，结论依然成立。

⑵ 该定理第一条件中，和的极限皆为时，结论依然成立。

⑶ 上述和的构型，可精炼归纳为、；与此同时，下述构型也可用洛必达法则求极限，只需适当变型推导：、、、、。

洛必达法则还可以处理0/∞型的极限。

应用条件

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

注意事项

求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。

⑴ 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型构型，否则滥用洛必达法则会出错（其实形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。当不存在时（不包括情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。

⑵ 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

⑶ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。

⑷ 洛必达法则常用于求不定式极限。基本的不定式极限：型；型（或），而其他的如型，型，以及型，型和型等形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解。

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