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洛朗级数

洛朗级数

在数学中，复变函数f(z)的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由Pierre Alphonse Laurent在1843年首次发表并以他命名的。卡尔·魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人，但他1841年的论文在他死后才发表于世。

详细释义
在数学中，复变函数f(z)的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由Pierre Alphonse Laurent在1843年首次发表并以他命名的。卡尔·魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人，但他1841年的论文在他死后才发表于世。
函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出：
其中Cn是常数，由以下的路径积分定义，它是柯西积分公式的推广：
积分路径γ是位于圆环A内的一条逆时针方向的可求长曲线，把c包围起来，在这个圆环内是全纯的（解析的）。的洛朗级数展开式在这个圆环内的任何地方都是正确的。在右边的图中，该环用红色显示，其内有一合适的积分路径 。如果我们让是一个圆 ，其中 ，这就相当于要计算的限制到上的复傅里叶系数。这些积分不随轮廓的变形而改变是斯托克斯定理的直接结果。
在实践中，上述的积分公式可能不是计算给定的函数系数最实用的方法；相反，人们常常通过拼凑已知的泰勒展开式来求出洛朗级数。因为函数的洛朗展开式只要存在就是唯一的 ，实际上在圆环中任何与相等的，以上述形式表示的给定函数的表达式一定就是的洛朗展开式。
收敛洛朗系列
复系数洛朗级数是复分析中的一个重要工具，尤其在研究函数奇点附近的行为时。
e和洛朗近似：见文中解释。随着洛朗级数负次数的增长，图像接近正确的函数。 e和洛朗近似的负次数的增长。奇点零的邻域不能被近似。
考虑例如函数，它的 。作为实变函数，它是处处无穷可微的；但作为一个复变函数，在x = 0处不可微。用−1/x替换指数函数的幂级数展开式中的x，我们得到其洛朗级数，对于除了奇点X = 0以外的所有复数，它都收敛并等于ƒ(x)。旁边的图显示了e（黑色）和它的洛朗近似
对于N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7到50。当N → ∞，近似对除了奇点x = 0处的所有复数x都很精确。
更一般地，洛朗级数可以用来表达定义在圆环上的全纯函数，就像幂级数被用于表达一个圆盘上定义全纯函数一样。
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