点态收敛拓扑

拓扑结构

点态收敛拓扑(pointwise convergence topology)亦称点开拓扑，是一种常用的拓扑结构。设X是一个非空集合，Y是拓扑空间，X到Y的所有映射构成的集合F(X，Y)可表示为笛氏积∏x∈XYx，其中Yx=Y，这是因为每一f:X→Y可表示为(f(x)|x∈X)，函数空间F(X，Y)上的积拓扑称为点态收敛拓扑。在这拓扑下，F(X，Y)中序列{fn}收敛于 f 的充要条件为对每个x∈X，点列{fn(x))收敛于f(x)。

定义

定义1 给定集合X的一个点以及空间的一个开集，令

所有集合构成的拓扑的一个子基，这个拓扑称为点态收敛拓扑(topology of pointwise convergence)或点开拓扑(point-open topology)。

这个拓扑的一般基元素是子基元素的有限交，因此，包含函数的一个典型的基元素就是由所有在有限多点处“接近”的函数组成，这样的邻域如图1所示，它由所有函数图像与所给三个垂直区间都相交的函数构成。

上的点态收敛拓扑就是积拓扑，如果我们用J代替X，将J的一般元素记为，这样看起来就更加熟悉了，这时，使得的所有函数构成的集合恰好就是的子集而它也正好就是积拓扑的标准子基元素。

相关知识

称其为点态收敛拓扑的理由缘于以下定理：

定理1 在点态收敛拓扑下，函数序列收敛于函数，当且仅当对于每一个点中点的序列收敛于点。

证明：这是积拓扑中一个一般性的事实，在这里我们使用函数记号来证明它，假定在点态收敛拓扑之下收敛，给定及含有的开集，集合是的一个邻域，因此存在整数N，使得对于所有的，有于是对于所有的，。

反之，设对每个收敛子，要证明在点态收敛拓扑之下收敛于，只要证明如果是包含的任意一个子基元素，则对于充分大的n，包含所有的就足够了(为什么?)。但是因为收敛于，并且，所以必存在一个整数N，使得对于有，于是对于，。

例1 考虑空间RI，其中定义为的连续函数序列()在点态收敛拓扑下收敛于函数，其中的定义为

这个例子说明，在点态收敛拓扑下，连续函数的子空间不是RI中的闭集。

我们知道，若一个连续函数序列()在一致拓扑下收敛，则极限必定是连续的，然而上面这个例子说明，一个序列仅在点态收敛拓扑下收敛，却未必有连续的极限，人们可能要问，是否存在某一个拓扑介于这两个拓扑之间，仍能保证连续函数的收敛序列有连续的极限呢?答案是肯定的，只要对空间X加一点限制，而且这个限制还相当宽泛，即要求X是紧致生成的，如果在以下定义的紧致收敛拓扑下，()收敛于，就足以保证是连续的了。

定义2 设是一个度量空间，X是一个拓扑空间，给定的一个元素，X的一个紧致子空间C以及一个数令表示中所有满足下式的元素构成的集合：

这些集合组成了的一个拓扑基，我们称这个拓扑为紧致收敛拓扑(topology ofcompact convergence)(有时也称它为“紧致集合上的一致收敛拓扑”)。

易见这些集合满足作为基的条件，最关键的一步是注意，若，则对

有。

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