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狄利克雷定理

数学术语

在数论中，狄利克雷定理说明对于任意互质的正整数a,d，有无限多个质数的形式如a+nd，其中n为正整数，即在等差数列a+d,a+2d,a+3d,...中有无限多个质数——有无限个质数模d同余a。

人物介绍
狄利克雷（1805～1859）　Dirichlet，Peter Gustav Lejeune　德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。
在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。
在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1836年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄利克雷级数。1838～1839年，他得到确定二次型 类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。
在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄利克雷问题。
定理定义
欧几里得证明了有无限个质数，即有无限多个质数的形式如2n+1。
算术级数的质数定理：若a,d互质，则有
其中φ是欧拉函数。取d=2，可得一般的质数定理。
Linnik定理说明了级数中最小的质数的范围：算术级数a+nd中最小的质数少于c*d^L，其中L和c均为常数，但这两个常数的最小值尚未找到。
Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽罗瓦扩张的推广。
验证推导
狄利克雷定理的证明依赖狄利克雷L级数，我们定义 如下：
考察其对数形式为：
将上式分开写为：
易知：
在s=1处解析（因为绝对收敛）。
下面我们构造狄利克雷算术级数素数部分的和函数：
上式之所以成立是由狄利克雷特征的正交性决定的，将其改写为：
显然 当 时解析，当 时我们有：
因此我们有：
至此，我们已经证明了：
故存在无穷多个素数 ，且其分布密度为 。
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