希尔伯特曲线

意大利数学家皮亚诺发现的连续不可导曲线

希尔伯特曲线是一种曲线，只要恰当选择函数，画出一条连续的参数曲线，当参数t在0，1区间取值时，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。希尔伯特曲线是一条连续而又不可导的曲线。

简介

1890年，意大利数学家皮亚诺（Peano G）提出能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线。后来，由希尔伯特作出了这条曲线，又名希尔伯特曲线。皮亚诺对区间[0，1]上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上，正方形的这些点对于t∈[0,1],可规定两个连续函数x=f（t）和y=g（t），使得x和y取属于单位正方形的每一个值。

希尔伯特曲线是一种能填充满一个平面正方形的分形曲线（空间填充曲线），由大卫·希尔伯特在1891年提出。

由于它能填满平面，它的豪斯多夫维是2。取它填充的正方形的边长为1，第n步的希尔伯特曲线的长度是2n - 2-n。

L系统记法：

变数: L, R

常数: F, +, -

公理: L

规则:

L → + R F - L F L - F R +

R → − L F + R F R + F L −

F ：向前

- ：右转90°

+ ：左转90°

一般来说，一维的东西是不可能填满2维的方格的。但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例。这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中，维数可以是分数叫做分维。

此外，希尔伯特曲线是连续的但处处不可导的曲线。因此如果我们想要研究传统意义上的曲线，就必须加上可导的条件，以便排除像皮亚诺曲线这样的特例。

作法

皮亚诺曲线（希尔伯特曲线）构造方法如图1所示：取一个正方形并且把它分出9个相等的小正方形，然后从左下角的正方形开始至右上角的正方形结束，依次把小正方形的中心用线段连接起来；下一步把每个小正方形分成9个相等的正方形，然后上述方式把其中中心连接起来……将这种操作手续无限进行下去，最终得到的极限情况的曲线就可以填满整个平面

不同观点

1877年，数学家康托提出了从一维到二维的映射，后来这个结论得到了另外一些数学家的支持，包括皮亚诺、希尔伯特等。但也有一些数学家对此持怀疑或反对的态度。最著名的就是与康托一起对实数做出定义的数学家戴德金，他对康托的结论一直持反对意见，并指出了康托最初证明中的一些错误。另外，后来戴德金又证明，如果平面和直线之间的对应是连续的，则不可能是一一对应。

下面一种观点认为，皮亚诺曲线等是和实数的不可数性相矛盾的。

十进制数和罗素悖论

关于康托的集合论，罗素于1901年提出了一个悖论，指出一个包含自己的集合将导致逻辑上的混乱。分析发现，在康托对实数的定义中也包含了罗素悖论。康托对实数的定义是：

“1872年，康托在一篇文章中，用一章的篇幅专门讨论实数问题，特别是无理数问题。他为自己提出了一个目标，在不预先假定无理数存在的条件下，建立一个令人满意的无理数理论。显然，全体的有理数集合为此提供了一个基础。康托用有理数的无穷序列来定义无理数及它们之间的顺序关系。

希尔伯特曲线和实数的不可数性

1877年，康托给出了从一维到二维的一一映射。皮亚诺和希尔伯特分别于1890年和1891年给出了一种可以充满整个平面的曲线。

希尔伯特曲线由一个大正方形分成9个小正方形，再不断的把每个小正方形分成更小的正方形得到的边组成的曲线。这实际上是一个递归过程。也可认为希尔伯特曲线是在上面基础上把小正方形的中心点连接起来得到的曲线。这两种表示方法在本节的讨论中并没有区别，在下面的过中位线作截线的过程中可以发现，这两种曲线与截线的交点是一一对应的。

希尔伯特曲线的编码映射

能不能仿照康托从有理数集出发去定义无理数集的例子，借助希尔伯特曲线来建立一种从曲线到平面的一一映射呢？希尔伯特曲线中的编码映射就是这样的一个例子。

希尔伯特曲线通过把一个正方形不断大的分成4个小正方形，再把小正方形的中心点连接起来得到的曲线，即希尔伯特曲线。

在希尔伯特曲线的编码映射中，对分成的4个小正方形按顺时针顺序进行二进制编码，为0.00，0.01，0.10，0.11。后面的分裂同样在前面编码的基础上加上2位二进制小数，如第一格第二次分裂后，得到的4个小正方形编码为0.0000，0.0001，0.0010，0.0011。这样就给正方形中的每个点一个[0,1]中的编码，也就是完成了从1×1的平面到[0,1]区间的一一映射。

总结

这种观点指出，在康托用有理数的基本序列去定义实数中，实数域中的一个有理数a按定义等于序列，这实际上构造了一个包含自指的集合：数a等于一个集合，这个集合中有一个元素，就是数a本身。这样的集合包含了罗素悖论。本文还分析了皮亚诺曲线等一维到二维映射的例子，指出它们实际上也包含了上述悖论。

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