相交数

数学术语

映射度亦称布劳威尔度或拓扑度。对一类连续映射的一种刻画。对n维球面S到自身的每一连续映射联系一个整数。

概念

相交数是重要的同伦不变量。映射度在更一般情形的推广。设M与N分别是m维与n维的紧致有向(无边)微分流形，n>m，A是N的(n-m)维闭有向子流形，f：M→N是C映射，fA，对于p∈f(A)，当线性同构：

TpMTf(p)N→Tf(p)N/Tf(p)A

保持定向时，记为#p(f，A)=1；否则记为#p(f，A)=-1，则#(f，A)=∑p∈f(A)#p(f，A)∈Z(因为f(A)在M中余维为m)，称为映射f对于子流形A的相交数。类似于映射度情形，得到：若f，g：M→N是光滑同伦映射，fA，gA，则：

#(f，A)=#(g，A)

由此可将相交数定义推广到一般连续映射的情形。相交数有直观的几何背景，设M1，M2N都是N的有向(无边)紧致子流形，

dim N=dim M1+dim M2，

M1M2(即处于一般位置)，i：M1→N为包含映射，则#(i，M2)实际上是M1∩M2中点的“代数”个数(按定向，每一点赋予适当的符号)，称为(M1，M2)的相交数，记为#(M1，M2)或#(M1，M2;N)。从而：

#(M1，M2)=(-1)dimM1·dimM1#(M2，M1)

注意，当M，N或A不是可定向流形时，可类似于模2映射度而定义模2相交数#2(f，A)。

映射

亦称函数。数学的基本概念之一。也是一种特殊的关系。设G是从X到Y的关系，G的定义域D(G)为X，且对任何x∈X都有惟一的y∈Y满足G(x，y)，则称G为从X到Y的映射.即关系G为映射时，应满足下列两个条件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).这个被x∈X所惟一确定的y∈Y，通常表示为y=f(x)(x∈X).f(x)满足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

关系G常使用另一些记号：f：X→Y或XY.f与G的关系是y=f(x)(x∈X)，当且仅当G(x，y)成立.可取变域X中的不同元素为值的变元称为自变元或自变量。同样可取变域Y中的不同元素为值的变元称为因变元或因变量。始集X称为映射f的定义域。记为D(f)或dom(f).终集Y称为映射的陪域，记为C(f)或codom(f).Y中与X中的元素有关系G的元素的组合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}称为映射的值域，记为R(f)或ran(f).当y=f(x)时，y称为x的象，而x称为y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示.对于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}称为A的象.记为f(A)。对于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}称为B的原象。记为f(B)。显然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。

映射度

亦称布劳威尔度或拓扑度。对一类连续映射的一种刻画。对n维球面S到自身的每一连续映射联系一个整数。设f：S→S(n≥1)是连续映射，(K，φ)是S的一个剖分，同调群Hn(S)Z，这里Z表示整数加群，以[z]记同调群Hn(K)的生成元，若：

f~=φ°f°φ： |K|→|K|，

则有整数m使得f~的诱导同态f~n*([z])=m[z]，这个m称为f的布劳威尔度，记为deg f.映射度deg f与S的剖分(K，φ)和Hn(K)的生成元的选取无关.根据诱导同态的性质，可得到下述结论：若f，g：S→S都是连续映射，则：

1.若fg，则deg f=deg g.

2.deg(f°g)=deg f°deg g.

3.对于S上的恒同映射1s，有deg 1s=1，对于常值映射c：S→S，有deg c=0.

根据以上性质，可以定义对应

deg#： [S，S]→Z，

使得对于f所属同伦类[f]规定

deg#([f])=deg f.

根据霍普夫(Hopf，H.)的度数定理，deg#是一一对应。它表明S到自身的连续映射从同伦观点看由其映射度惟一决定.映射度理论应用广泛，如研究球面上向量场以及博苏克-乌拉姆定理等。关于映射度还可推广到能定向闭假流形以及其他领域中去。讨论n维球面S到自身连续映射的同伦类构成的集合[S，S]，是映射的同伦分类问题中最基本的内容，并且很多几何问题的解决都有赖于对这个集合性质的了解。研究这个集合结构的一种方法，就是对每个连续映射f：S→S联系一个整数，即所谓映射度，它是由布劳威尔(Brouwer，L.E.J.)首先提出的。

同伦

设f、g是拓扑空间X到Y的两个连续映射，若存在连续映射H：X×I→Y使得：

H(x，0)=f(x)

H(x，1)=gx∈X

则称f与g同伦，记为f≃g：X→Y或f≃g，映射H称为f与g之间的一个同伦。f与g的同伦H也可理解为单参数映射族{ht}t∈I，ht连续地依赖于t且h0=f，h1=g，即当参数t从0变到1时，映射f连续地形变为g。与常值映射同伦的映射称为零伦的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切连续映射之集，则同伦关系≃是C[X，Y]上等价关系，每个等价类称为一个同伦类，同伦类的全体所成集记为[X，Y]。设Y是R的子空间，f，g：X→Y是连续映射，若对每个x∈X，点f(x)与g(x)可由Y中线段连结，则f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零伦，即[X，Y]仅含一个元素。设X，Y与Z均为拓扑空间，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，则gf≃gf： X→Z。

设X，Y为拓扑空间，若存在连续映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Idx且f·g≃idr。这Id、id均表示恒同映射，则称f为同伦等价，g为f的同伦逆，而将X与Y称为具有相同的伦型，或简称同伦的，记作X≃Y。与单点空间同伦的空间称为可缩的，或者存在x0∈X，使得常值映射C：X→X。x1→x0与映射idx同伦，空间X可缩。R和R中凸集均为可缩空间。同伦关系是拓扑空间之间的等价关系。X可缩等价于下列几条中任意一条：(1)idx≃0，即恒同映射idx零伦。(2) 对任意空间Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)对任意空间Z和连续映射g：Z→X，g≃0。

设A是空间X的子空间，i：A→X表包含映射，若存在连续映射r：X→A，使得r|A=idA(或r·i=idA)，则r称为X到A的保核收缩，A称为X的收缩核。若有保核收缩r：X→A满足i·ridx：X→X，则H称为X到A的形变收缩，A称为X的形变收缩核，若同伦H还满足对任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，则H称为X到A的一个强形变收缩，A称为X的强形变收缩核。强形变收缩是形变收缩，且若A是X的形变收缩核，则内射i：A→X是同伦等价。

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