相量法

C.P.Steinmetz提出的方法

相量法（phasor method），是分析正弦稳态电路的便捷方法。它用称为相量的复数代表正弦量，将描述正弦稳态电路的微分（积分）方程变换成复数代数方程，从而简化了电路的分析和计算。相量可在复平面上用一个矢量来表示。

简介

该法自1893年由德国人C.P.施泰因梅茨提出后，得到广泛应用。相量可在复平面上用一个矢量来表示。它在任何时刻在虚轴上的投影即为正弦量在该时刻的瞬时值。引入相量后，两个同频率正弦量的加、减运算可以转化为两个相应相量的加、减运算。相量的加、减运算既可通过复数运算进行，也可在相量图上按矢量加、减法则进行。正弦量与它的相量是一一对应的，因此求出了相量就不难写出原来需要求的正弦量。

转化

相量法的代数式A=a+jb可以与三角形式、指数形式、极坐标形式等进行转化。

三角形式∶A=〡A〡(cosθ+jsinθ)

指数形式∶A=〡A〡ejθ

极坐标形式∶A=〡A〡∠θ

相量法的代数式和三角形式便于加减运算，指数形式和极坐标形式便于乘除运算。

幅角取值范围为(-π)~(+π)之间。

运算

运算中，需要注意的是，相量复数用头上带点的大写字母表示。分析中的相量一般都是指有效值相量。

相量表示正弦量是指两者有对应关系，并不是指两者相等。因为正弦量是时间函数，而相量只是与正弦量的大小及初相相对应的复数。

分析正弦稳态电路的一种方法。1893年由德国人C.P.施泰因梅茨首先提出。此法是用称为相量的复数来代表正弦量，将描述正弦稳态电路的微分（积分）方程变换成复数代数方程，从而在较大的程度上简化了电路的分析和计算。在进行分析电路的正弦稳态时，人们几乎都采用这种方法。

基本概念

正弦量(例如电流)可以表示成

(1)

或

(1*)，

式中符号表示取后面的复数和复函数的虚部，符号表示取后面的复数和复函数的实部。上式中的是一个复数，用符号表示，称为正弦量的振幅(Amplitude)相量，其值为

(2)，可记作。

用有效值代替振幅，得到有效值相量，其值为

(3)，可记作。

显然，在角频率(Angular frequency)ω已知的情况下，可以用振幅相量或有效值相量代表一个正弦量。正弦量与它的相量是一一对应的。

给定了正弦量的瞬时值表达式i(t)=Imsin(ωt+ψi)=√2Isin(ωt+ψi)，可以用式中振幅（或有效值）和初相角(Initial phase angle)组成相量（或）；给定了相量或，可以利用相量的模和幅角，以及已知的角频率组成正弦量的瞬时值表达式 i(t)=Imsin(ωt+ψi)=√2Isin(ωt+ψi)。

相量图

相量是一个复数，复数在复平面上可以用一个矢量来表示，所以一个相量可以用复平面上的一个矢量来表示。这种表示相量的图称为相量图。若相量乘上ejωt,则表示该相量的矢量以角速度ω绕原点反时针旋转，于是得到一个旋转矢量。这个旋转矢量称为旋转相量，它在任何时刻在虚轴上的投影即为正弦量在该时刻的瞬时值。

引入相量后，两个同频正弦量的加、减运算可以转化为两个相应的相量的加、减运算，相量的加减运算既可通过复数运算进行，也可在相量图上按矢量加、减法则进行。另外，常遇到的正弦量乘以任意实常数和正弦量对时间求导数的运算可分别转化为正弦量的相量乘以该任意实常数和正弦量的相量乘以的jω 运算。

基尔霍夫定律的相量形式

在正弦稳态下，基尔霍夫定律中的电流和电压都是正弦量。用相量代表正弦电流和电压后,基尔霍夫电流定律(KCL)和基尔霍夫电压定律(KVL)分别变成

或

和

或。

电路元件的电压相量与电流相量的关系

利用相量可将电路元件在时域中的电压电流关系转换成电压相量与电流相量的关系。正弦电路中几种常用元件的电压相量与电流相量的关系如表所示。将正弦交流电路中每个电路均用对应的相量电路模型代替，便得到一个与原电路相对应的相量电路模型，这种模型对正弦交流电路的计算很有用处。

复数阻抗与复数导纳

正弦交流电路中一个不含独立电源且与外电路无耦合的一端口网络，其端上的电压相量与电流相量的比值定义为该网络的入端复数阻抗，简称阻抗。它的倒数定义为该网络的入端复数导纳，简称导纳，分别用符号Z和Y表示。复数阻抗的实部称为等效电阻，虚部称为电抗，模称为阻抗模，幅角称为阻抗角,它们分别用符号R、X、|Z|、φ表示。复数导纳的实部称为等效电导，虚部称为电纳，模称为导纳模，幅角称为导纳角，它们分别用符号G、B、|Y|、φ表示，于是

Z =R+jX=|Z|ejφ

Y =G+jB=|Y|ejφ

显然，阻抗模等于端口电压振幅（有效值）与端口电流振幅（有效值）的比值，阻抗角等于端口电压超前端口电流的角度；导纳模等于端口电流振幅(有效值)与端口电压振幅（有效值）的比值，导纳角等于端口电流超前端口电压的角度。

电阻元件、电感元件和电容元件都是最简单的一端口网络，若以ZR、ZL和ZC表示三者的复数阻抗，则按定义分别是ZR=R、ZL=jωL和ZC=1/jωC；若以YR、YL和YC表示三者的复数导纳,则按定义分别是YR=G、YL=1/jωL和YC=jωC。

显然，复数阻抗（复数导纳）的引入能使原非同类的元件归并为都以复数阻抗（复数导纳）来表征的同类元件，复数阻抗（复数导纳）在交流电路中的地位与直流电路中的电阻（电导）相当。

用相量法计算正弦交流电路

用此法计算电路有两种方式，一种方式是，先象暂态分析那样写出电路的微分方程，再将方程中的正弦量和对正弦量的运算按规则改换成相量和对相量的运算，得出与原微方程相对应的含相量的代数方程,然后,解此方程求出待求相量。另一种方式，也是通常所用的方式，则是在原电路的相量电路模型上,使用KCL和KVL的相量形式和电路元件电压-电流关系的相量形式，如同计算直流电路那样，直接列出含相量的代数方程，然后解此方程求出待求相量。两种方式得到的解答完全一样。有了相量便不难写出原来需要求的正弦量。

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