等于

数学用语

数学上，两个数学对象是相等的，若他们在各个方面都相同，这就定义了一个二元谓词等于，写作“=”；x = y 当且仅当x 和y 相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式。

定义

注意，有些时候“A = B”并不表示等式。例如，T（n）= O(n)表示在数量级 n上渐进。因为这里的符号“=”不满足当且仅当的定义，所以它不等于等于符号；实际上，O(n) = T（n）是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

集合A 上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。去掉对反对称性的要求，就是等价关系。相应的，给定集合A上的任意等价关系R，可以构造商集A/R，并且这个等价关系将‘下降为’A/R 上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。

基本性质

替代性：

对任意量a和b和任意表达式F（x），若a=b，则F（a）=F（b）（设等式两边都有意义）。

在一阶逻辑中，不能量化像F这样的表达式（它可能是个函数谓词）。

一些例子：

自反性：

对任意量a，a=a。

对称性：

对任意量a和b，若a=b，则b=a。

传递性：

对任意量a，b，c，若a=b且b=c，则a=c。

实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差别能够叠加成非常大的差别）。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

逻辑形式

谓词逻辑含有标准的关于相等的公理，从而形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。莱布尼茨的想法是，两样物体是同一的，当且仅当它们有完全相同的性质。形式化这一说法，可以写成

然而，在一阶逻辑中，不能对谓词进行量化。因此，需要使用下述公理：

这条公理对任意单变量的谓词P 都有效，但只定义了莱布尼茨律的一个方向：若x 和y 相等，则它们具有相同的性质。可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向：

则若x 和y 具有相同的性质，则特定的它们关于谓词P 是相同的。这里谓词P 为：P（z）当且仅当x = z。由于P（x）成立，P（y）必定也成立（相同的性质），所以x = y（P 的变量为y）.

符号的历史

“等于”符号或 “=”被用来表示一些算术运算的结果，是由Robert Recorde在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是≈或≒，不等于的符号是≠。

表示相等关系的符号。相等是数学中最重要的关系之一，所以数学中很早就出现了表示相等的符号。古希腊数学家丢番图(Diophantus)用“l”(有时用“ч”)表示相等，古印度人有用相当于pha的字母表示相等.近代的德国数学家雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，J.)、意大利数学家帕乔利(Pacioli，L.)等人用破折号“——”表示相等.现代用的等号“=”称为雷科德符号(Recorde's sign)，是英国数学家雷科德(Recorde，R.)在1557年出版的一本书《开端》(Début)中第一次作为等号使用的，但其推广十分缓慢。后来，著名学者如德国数学家、天文学家开普勒(Kepler，J.)、意大利数学家、物理学家伽利略(Galilei，G.)、法国数学家费马(Fermat，P.de)等人一直用文字或缩写语aequals，ae等表示相等。法国数学家笛卡儿(Descartes，R.)于1637年还用“=”表示现代“±”号的意义，而用“∝”作等号.直到17世纪末，以“=”作等号才逐渐通用。

全国各地天气预报查询

上海市

云南省

云南省

云南省

云南省

云南省