商集

集合论的概念之一

商集是集合论的基本概念之一，指由集合和该集合上的等价关系导出的集合。设～是非空集合A的一个等价关系，若把以A关于～的全部等价类作为元素组成一个新的集合B，则把集合B叫做A关于～的商集合，简称为商集，记作B=A/～.

特点

非空集合S关于它上面的任何等价关系R的商集具有下列特点：

利用选择公理，在S/R的每个元素Am中取出一个元素am∈Am，称为等价类Am的代表，而{am}m∈M称为商集的代表集。集S对它上面的不同的等价关系R和G有不同的商集，且满足：

1.S/R=S/R；

2.S/E={{a}}a∈S，这里E是恒等关系；

3.S/(S×S)={S}，这里S×S是全域关系；

4.若S/R={Am}m∈M，S/G={Bn}n∈N，则

且其中某些项可能是空集。

举例

例1 A={a,b,c,d,e,f}={某大学宿舍的大学生}；R是A上的同乡关系（不难证明同乡关系是等价关系），若a,b是北京人，c是广东人，d,e,f南京人，则R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}.A中各元素关于R的等价类分别是：

[a]R=[b]R={a,b}；

[c]R={c}；

[d]R=[e]R=[f]R={d,e,f}；

A关于R的商集A/R={[a]R,[c]R,[d]R}={{a,b},{c},{d,e,f}}.

例2 A={(x，y) |-∞0，y1y2>0，(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈A}是A的等价关系，A关于～的等价类为A1= [(1，1)]，A2= [ (-1，1)]，A3= [ (-1，-1)]，A4=[(1，-1)]，显然A1，A2，A3，A4就是直角坐标平面上的四个象限(如下图)。这时A关于～的商集为：A/～= {A1，A2，A3，A4}.

例3 利用由整数系扩充至有理数系的过程理解商集。假定已定义整数集Z，直观上取a∈Z,b∈Z，则有a/b可定义为有理数。但新定义的数需符合整数的运算性质才可称为数系的一次扩充。首要问题在于形式上不同的两个a/b相对于运算可能是相同的，例如2/4=1/2,。一个朴素的处理方式是宣称分数可以约分，并称分子分母互质的为最简分数，满足最简分数形式的才是有理数。这一过程的数学处理正是商集的一个例子。

首先考虑集合，其中的元素为二元组(a,b)。定义等价关系~=，易验证这确实是一个等价关系。此处则有有理数集/~，也即对整数二元组，如果将其中“可约分”的元素视为等价而只去一个代表，则构造出的集合与有理数集Q相同。有理数集Q即为整数二元组集合关于以上等价关系~的商集。

赋范线性空间的商空间

设X是线性空间，Y是X的一个线性子空间。对x∈X，记称是以x为代表元的等价类，于是得到商集

在中规定

易知这样的线性运算是一意确定的，于是，按这个线性运算称为线性空间。在商空间中，X的子空间Y被“缩”为零向量.

例如，在Lp空间中，记Y为几乎处处等于零的函数全体，则对f∈Lp，就是与F几乎处处相等的函数组成的等价类。

如果X为赋范线性空间，Y是X的线性闭子空间，对规定

容易证明这样定义的是上的范数，即仍是赋范线性空间，而且，当X是Banach空间时，商空间也是Banach空间。

附录

[二元关系]设A,B是集合，R是笛卡儿乘积AxB的子集，则称R是A到B的一个二元关系，例如A={x,y},B={a,b},R={(x,a),(x,b),(y,a),(y,b)}.

[自反的二元关系]如果对于集合A的每一个元素a，都有(a,a)属于二元关系R，则称R为自反的二元关系。

[对称的二元关系]如果每当(a,b)属于R，就一定有(b,a)属于R，则称R是对称的二元关系。