紧开拓扑

拓扑学术语

在数学中，紧开拓扑是在两个拓扑空间之间的连续映射集上定义的拓扑。紧开拓扑结构是功能空间中常用的拓扑结构之一，适用于同伦理论和功能分析。它是由Ralph Fox在1945年提出的。

定义

设Top(X,Y)为拓扑空间范畴的态射集。给定X的紧集K和Y的开集U，令N(K,U)表示Top(X,Y)中所有满足f(K)⊂U的函数f的集合。则N(K,U)是Top(X,Y)上紧开拓扑的子基。（此集合并不总是形成Top(X,Y)上拓扑的基）给定了紧开拓扑的Top(X,Y)记为Cop(X,Y)

当在紧生成空间的范畴中工作时，通常将该定义修改为由作为紧豪斯多夫空间的映射K形成的基来进行修改。当然，如果X紧生成且豪斯多夫，这个定义与前一个一致。然而，如果要将紧生成的弱豪斯多夫空间的方便类别笛卡尔闭合，其他有用的属性，修改后的定义是至关重要的。这个定义与上述之间的混淆是由单词compact的不同用法引起的。

性质

如果*是一个点空间，则可以使用X来识别C（*，X），并且在该标识下，紧开拓扑与X上的拓扑一致。

如果Y是T0，T1，豪斯多夫，正则或Tychonoff，则紧开拓扑具有相应的分离公理。

如果X是豪斯多夫，S是Y的子基，则集合{V（K，U）：U∈S}是C（X，Y）上的紧开拓扑的子基。

如果Y是度量空间（或更一般地，均匀空间），则紧开拓扑等于紧收敛的拓扑。换句话说，如果Y是度量空间，则当且仅当对于X的每个紧子集K {fn}均匀地收敛于f时，序列{fn}收敛于紧开拓扑中的f。特别地，如果X是紧的并且Y是一个均匀的空间，那么紧开拓扑结构等于均匀收敛的拓扑。

如果X，Y和Z是拓扑空间，Y本地紧型豪斯多夫（或者甚至局部紧的规则），则给出组合图C（Y，Z）×C（X，Y）→C（X，Z）通过（f，g）↦f o g，是连续的（这里所有的函数空间都是紧开拓扑，C（Y，Z）×C（X，Y）被赋予乘积拓扑）。

如果Y是局部紧的豪斯多夫（或不规则）空间，则由e（f，x）= f（x）定义的评估图e：C（Y，Z）×Y→Z是连续的。这可以看作是上述的特殊情况，其中X是一点空间。

如果X是紧的，并且Y是具有度量d的度量空间，则C（X，Y）上的紧开拓扑是可辨别的，并且其的度量由e（f，g）= sup {d f（x），g（x））：x中的x}，对于f，g∈C（X，Y）。

由于单点集为紧集，所以F上的紧开拓扑细于F上的点式收敛拓扑。若值域空间Y是豪斯多夫空间，则F上赋予紧开拓扑也是豪斯多夫空间。若Y是正则空间且F中每一元都是连续的，则F上赋予紧开拓扑也是正则空间。

紧开拓扑和联合连续拓扑的关系

定义1 a)设F是到的函数族，令：，对，使连续的F的不分明拓扑l称为联合连续的；b)F的不分明拓扑la，称为在的子空间才上联合连续，如果映射是连续的。

定理1 a)设F是到的函数族，则F上的在的每个良紧子空间上联合连续的拓扑l细于F的点式收敛拓扑；b)当是Tj的,则l细于F的紧开拓扑；c)如果是正则，T2的且F的每个成员在的每个良紧子空间上连续，则F的紧开拓扑在的每个良紧子空间上联合连续。