结合子

数学领域术语

结合子(associator)是在非结合代数中用来度量给定的三个元素结合性的一个元素。设A是非结合代数，对任意x，y，z∈A，称(x，y，z)=(xy)z-x(yz)为x，y，z的结合子。在结合代数中，每个结合子都是0。

概念

结合子(associator)是在非结合代数中用来度量给定的三个元素结合性的一个元素。设A是非结合代数，对任意x，y，z∈A，称(x，y，z)=(xy)z-x(yz)为x，y，z的结合子。在结合代数中，每个结合子都是0。在交错代数中，对任意两个元素x，y恒有：(x，x，y)=(y，x，x)=0。

在若尔当代数中，对任意两个元素x，y恒有(x，y，x)=0.结合子对于x，y，z三个分量来说都是线性的。

非结合代数

非结合代数是抽象代数学的一个重要分支，与结合环和结合代数理论在概念与术语的使用上、问题的背景与提出的方式上、讨论中的思路与解决问题的方法上都有密切联系.若集合R上有两个二元运算：加法“+”和乘法“·”，而且：

1.(R，+)是加法群；

2.R的乘法“·”对其加法“+”满足分配律，即对任意x，y，z∈R，恒有：

(x+y)·z=x·z+y·z，

z·(x+y)=z·x+z·y；

则称(R，+，·)是一个非结合环。进而，

3.若(R，+)是域F上的线性空间，且对任意α∈F，任意x，y∈R有：

α(x·y)=(αx)·y=x·(αy)；

则称(R，+，·)是域F上的一个非结合代数。也称非结合环、非结合代数为分配环和分配代数。设(A，+，·)是一个非结合代数，若它对其乘法满足结合律或交错律或若尔当律或雅可比恒等式等，就分别称其为结合代数、交错代数、非交换若尔当代数、李代数等。因为，结合环必为非结合环，每个结合代数都是非结合代数，所以，字头“非”意味着乘法满足结合律与不满足结合律的环与代数的总和。由于结合环与结合代数的研究工作起步早、成果多，已自成系统，所以在非结合代数与非结合环理论中通常将那些“结合的”系统排除在外。同样道理，李代数已形成独立局面，而不再被包含在一般非结合代数中。

一些重要的非结合代数是受到量子力学、统计物理等刺激发展起来的，但是在其代数结构的理论探讨上，可以说，基本上是沿着结合代数结构理论的路子向前发展。如引入理想、同态、商代数、根、直和、链条件、半单等概念，分别讨论各种类型非结合代数的韦德伯恩定理存在的可能性等。

在这个分支中，到目前为止，研究成果比较令人满意的是幂结合代数、凯莱代数、若尔当代数、非交换若尔当代数、交错代数等。

交错代数

交错代数是满足特别公理的一种非结合代数。指它的任意两个元素x，y恒有：

x2y=x(xy)，　y2x=(yx)x。

写成结合子形式，即(x，x，y)=(y，x，x)=0.交错意味着对任意一个3级置换σ恒有：

(x1，x2，x3)=(sgnσ)(xσ(1)，xσ(2)，xσ(3))。

交错代数中任意两个元素生成的子代数都是结合的。有限维交错代数是半单的，当且仅当它是其单理想之直和。

若尔当代数

若尔当代数是一种交换的非结合代数。它满足若尔当恒等式.所谓非结合代数满足若尔当恒等式，是指对它的任意元素x，y，恒有xy=yx及(xy)x2=x(yx2).任何交换(结合)代数都是若尔当代数。特征数为0的域F上的任意有限维半单的若尔当代数恒可惟一地表为其单理想之直和。对于有限维若尔当代数，理想是可解的、幂零的和诣零的三条件等价。若尔当代数是20世纪30年代初由物理学家若尔当(Jordan，P.)引出来的，最初的目的是推广量子力学的公式。

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