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自由布尔代数

数学术语

在数学分支抽象代数中，自由布尔代数是布尔代数 ，使得集合 B (叫做“载体”)有其中元素叫做生成元的子集。

介绍
在数学分支抽象代数中，自由布尔代数是布尔代数，使得集合B(叫做“载体”)有其中元素叫做生成元的子集。生成元满足下列性质:
例子
自由布尔代数的生成元可以代表独立命题原子的自由布尔代数，它们就是
布尔代数
这个例子产生了有 16 个元素的布尔代数；一般的说，对于有限的n，有n个生成元的自由布尔代数有 2个原子，因此有 个元素。
对于无限多个生成元，情况是非常相似的，除了没有原子之外。布尔代数的所有元素都是有限多个生成命题的组合；两个这种元素被认为是相同的如果它们是逻辑等价的。
范畴论定义
更加正式的使用范畴论的概念，在生成元集合S上自由布尔代数是一个有序对 (π,B)，这里有
并且关于这个性质是通用的。这意味着对于任何布尔代数B1和映射 π1: S →B1，有一个唯一的同态f:B→B1使得
这个泛性质也可以公式化为叫做逗号范畴的初始性质。
“唯一”（在同构的意义下）是从这个泛性质立即得出的性质。注意映射 π 可以被证明是单射的。所以任何自由布尔代数B都这样的性质，有一个B的子集S，叫做B的生成元集合，使得从S到布尔代数B1的任何映射唯一的扩展为从B到B1的同态。
拓扑实现
有κ个生成元的自由布尔代数，这里的κ是有限或无限的基数，可以被实现为 {0,1}的闭开的子集的搜集，给定乘积拓扑假定 {0,1} 有离散拓扑。对于每个α<κ，第α个生成元是其第α个坐标是 1 的 {0,1}的所有元素的集合。特别是，有 个生成元的自由布尔代数是康托尔空间的所有闭开子集的搜集。另人惊奇的，这个搜集是可数的。事实上，尽管有有限n个生成元的布尔代数，n有势，带有 个生成元的自由布尔代数有势。
自由布尔代数的拓扑方式详情请参见Stone布尔代数表示定理。
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