默比乌斯变换

数理科学术语

默比乌斯变换(Mobius transformation)，也称莫比乌斯变换，是数论中的一种重要变换。默比乌斯变换是以数学家奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯命名的，它也被叫做homographic transformations 或 fractional linear transformations。每个莫比乌斯变换都是从黎曼球面到它自身的一一对应的共形变换。

简介

复平面中的默比乌斯变换

莫比乌斯带明尼苏达大学莫比乌斯变换

莫比乌斯变换是定义在扩充复平面上的（扩充复平面是指在普通的复平面加入无穷远点构成的集合）

扩充复平面可以看做是一个球面，它的另一个名称就是黎曼球面。每个莫比乌斯变换都是从黎曼球面到它自身的一一对应的共形变换。事实上，所有这样的变换都是莫比乌斯变换。

所有莫比乌斯变换的集合在函数复合作用下构成一个群，称为“莫比乌斯群”，记作。这个群是黎曼球面（作为一个黎曼曲面）的自同构群，因此有时也被记作：

莫比乌斯群同构于三维双曲空间中的保向等距同构群，因此在三维双曲空间中的子流形的研究中占有重要地位。

数论中的默比乌斯变换

对于给定的数论函数，定义新的数论函数：

称为的默比乌斯变换，而为的默比乌斯逆变换。

定义

在几何学里，默比乌斯变换是一类从黎曼球面映射到自身的函数。用扩展复平面上的复数表示的话，其形式为：

其中z,a,b,c,d为满足ad−bc≠0的（扩展）复数。

(当ad=bc的时候这个表达式退化成一个常数，通常约定常数函数不是默比乌斯变换）。

当c≠0时，定义

这样便将默比乌斯变换扩展到整个黎曼球面上。

如果c=0，那么定义

这样定义后，默比乌斯变换就成为了黎曼球面上的一个一一对应的全纯函数。

由于对默比乌斯变换的每一个系数乘上一个相同的系数后不会改变这个变换：

所以也有的定义中将ad−bc≠0的条件改成ad−bc=1。这样的定义下得到的默比乌斯变换可以说是“约简后”的默比乌斯变换。

默比乌斯变换也可以被分解为以下几个变换：把平面射影到球面上，把球体进行旋转、位移等任何变换，然后把它射影回平面上。默比乌斯变换是以数学家奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯的名字命名的，它也被叫做单应变换（homographic transformation）或分式线性变换（linear fractional transformation）。

分解

默比乌斯变换的实质与反演密切相关。实际上，一个形如

的默比乌斯变换可以分解成四个变换：

1) （按d/c做平移变换）；

2) （关于单位圆做反演变换然后关于实数轴做镜面反射）；

3) 做关于原点的位似变换然后做旋转）；

4)（按a/c做平移变换）。

这四个变换的复合就是默比乌斯变换：

在这种分解之下，可以清楚地看出默比乌斯变换的不少基本性质。

首先，由于以上分解中的每个变换都是可逆的（它们的逆变换也十分清楚），因此可以容易地看出，默比乌斯变换的逆变换也是一个默比乌斯变换，而且其表达式可以具体计算。

具体来说，设变换函数，其中每一个都是相应的的逆变换（反函数），

那么默比乌斯变换f的逆变换就是：。