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菱形

平面几何图形

菱形是一种特殊的平行四边形，定义为有一组邻边长度相等的平行四边形。在对几何图形的分析中，菱形的性质有助于解决各种几何问题。

定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
如果平行四边形满足，则四边形是菱形。
性质
性质定理：边
菱形的四条边长相等。
证明：设菱形，由定义知四边形是平行四边形，且
由平行四边形的性质可知
故而可得，该性质得证。
性质定理：对角线
菱形的对角线相互垂直平分，且每条对角线都平分菱形的一组对角。
证明：设菱形，由是平行四边形可知对角线、互相平分，并设其相交于 。那么点为线段的中点。
由菱形的定义可知，则由等腰三角形的性质可知。故可得、， 相互垂直平分。
由可知，而由平行四边形对边平行可知。因而，即平分。同理可知平分，平分和。
故而该性质定理得证。
判定
判定定理1
对角线垂直的平行四边形是菱形。
证明：由平行四边形性质可知对角线、互相平分。而由可知、互相垂直平分，故有。
由菱形定义即知四边形是菱形。该判定定理得证。
判定定理2
四条边相等的四边形是菱形。
证明：由，，可由平行四边形的判定定理得知四边形是平行四边形。而，则可由菱形的定义得四边形是菱形。该判定定理得证。
判定定理3
对角线垂直且每条对角线都平分一组对角的四边形是菱形。
证明：如图，在和中有
则（判定依据为ASA）。故而。同理可知,则由判定定理2可知四边形ABCD是菱形。该判定定理得证。
应用举例
例1 在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，过点作，交、于点、。
(1) 连接，求证：四边形是菱形；
(2) 作平分，交于点，请写出线段，，之间的数量关系，并证明．
解：
(1) 证明：由对称性可得
由可得，故而有，则,于是
从而可知四边形是平行四边形。而，说明是菱形，得证。
(2)，证明如下：
连接则有:
由与关于直线对称可知, ，则由可知。
在中，，都是角平分线，故点为的内心。则由三角形内心的性质可知。故而。
由对称性可知，则由勾股定理可知
原命题得证。
例2 平面内有一圆形磁场，圆心在坐标原点。一带电粒子沿x轴正方向入射，其偏转半径与磁场半径相同。求证其出射点一定是磁场边界与y轴的交点。
解：由带电粒子在磁场中的偏转规律可知，其偏转中心满足与入射方向垂直，即。又由偏转半径与磁场半径相同，即可知四边形是平行四边形。
再由可知四边形是菱形，，带电粒子偏转时必然经过点，故粒子从点出射。
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