蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早出现于1815年，由W.G.霍纳提出证明。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。这个定理的证法不胜枚举，仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形。
定理定义
蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。
该定理实际上是
射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广（详见定理推广）：
1. M作为圆内弦的交点是不必要的，可以移到圆外。
4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于
有向线段的
比例式，称为“
坎迪定理”， 不为中点时满足: ，这对1, 2均成立。
平面几何证法
霍纳证法
过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，
可知∠F=∠D；∠C=∠E（同弧所对的
圆周角相等）
△ESD∽△CSF（AA）
∴DS/FS=DE/FC
∴DS/FS=DL/FT
又∵∠D=∠F
∴△DSL∽△FST
∴∠SLD=∠STF
即∠SLN=∠STM
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L
四点共圆（对角互补的四边形共圆），
同理，O，T，M，S四点共圆
∴∠STM=∠
SOM，∠SLN=∠SON（同弧所对的圆周角相等）
∴∠SON=∠SOM
∴∠OTS=∠OMS，∠OLS=∠ONS（同弧所对的圆周角相等）
∴∠OMS=∠ONS
∵OS⊥AB
∴在△OSM和△OSN
∠MSO=∠NSO
∠OMS=∠ONS
OS=OS
∴△SOM≌△SON（AAS）
∴MS=NS
作图法
从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。
（证明过程见图1）
对称法
（证明过程见图2）
面积法
（证明过程见图3）【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式：坎迪定理】
帕斯卡证法
连接CO、EO并延长分别交圆O于I、J，连接IF、DJ交于K，
∵M为AB中点 ∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°
又∵CI、EJ为⊙O直径
∴∠GFK=∠HDK=90°
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°
∴G、F、K、M共圆，H、D、K、M共圆
又∵∠GFM=∠MDH
∴∠GKM=∠MKH
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK（ASA）
∴GM=MH
相似法
如图4，过H作DG的
平行线，交DF于K，交GE的延长线于L。
则△GIC∽△LHC，△DIC∽△KHC
∴
两式相乘，得~~~①
又，∠L=∠G=∠F
∵∠EHL=∠KHF
∴△EHL∽△KHF
∴
∵AC=BC
代入上式得
将上述两式全部代入①中，得
∴IC=HC
射影法
1.构造特殊情况：如图5中图1，A'B'、C'D'、M'N'为⊙O'内三条直径，A'D'∩M'N'=P'，B'C'∩M'N'=Q'，则由圆中心对称性知P'O'=Q'O'.
2.
中心投影：在不属于⊙O'所在平面的空间上任取一点T作为投影中心，用平行于直线M'N'的平面截影，则圆O'被
射影为椭圆，线段M'N'被射影为与之平行的M''N''，如图5中图2，则对应存在P''O''=Q''O''.
3.仿射：将图5中图2的椭圆仿射为圆，如图5中图3，由仿射不变性知PO=QO.
解析几何证法
利用
曲线系可以证明任意圆锥曲线（包括退化情形）的蝴蝶定理。
圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
证明：以PQ所在直线为x轴，M为坐标原点建立
直角坐标系。
由于直线AB、CD经过原点M，其方程可分别设为，其中系数不全为0。则方程C1：表示这两条直线。
又设已知圆锥曲线方程C2为
那么，经过ABCD四点的曲线系C可写成：
设P(-t,0)，Q(t,0)，则P、Q的坐标满足方程C2，即
两个方程相减即得d=0，即C2中不含关于x的一次项。
回到曲线C中，令y=0，得C与x轴交点的
横坐标x满足：
这是一个关于x的
一元二次方程，因
一次项系数为0，韦达定理得x1+x2=0
也就是说，曲线C与x轴的两个交点关于原点M对称。
因为弦AD、BC组成一条通过ABCD的曲线C，它和x轴交于X，Y，所以有MX=MY。
定理推广
该定理实际上是
射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：
1.蝴蝶定理的圆外形式
如图6，延长圆O中两条弦AB与CD交于一点M，过点M做OM
垂线，垂线与CB和AD的延长线交于E、F，则可得出ME=MF（
证明方法可参考蝴蝶定理的证法2、3、4）
2.在圆锥曲线中
通过
射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意
圆锥曲线（包括椭圆，
双曲线，
抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。
圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
射影几何里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在唯一一个投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.
由此对于本题，也可以通过投影变换将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。
在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的直径而且
四边形ACBD是圆M
内接矩形，PQ也是一条直径，由
对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是线段PQ的中点，由此可以得出在直线PQ上这个变换是
仿射变换，所以变换前M也是XY的中点。
例题：
如图7，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，
中心为M(o，r)（b＞r＞0）。
（II）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。求证：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)
（III）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。
求证： | OP | = | OQ |。（
证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
从x向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。
类似地，从Y向BM和CM作
垂线，设垂足分别为Y'和Y'
设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取
倒数，得为
1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’
将①’两边同乘以k1·k2，即得
k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
纵观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用
代数方程方法处理几何问题的作用与威力。
3.在筝形中
在
筝形ABCD中，AB=AD，BC=CD，过直线BD上一点P任作两条直线，一条与直线 AD、BC 交于E、F，另一条与直线 AB、CD 分别交于 G、H，直线
GF、EH 分别与 BD 交于 I、J。则
特别地，当点 P 为 BD 中点时，有 PI=PJ。此时本题为1990年中国中学生数学
冬令营选拔考试试题，被称为筝形蝴蝶定理。
证明如图8。
4.坎迪定理
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于向量的
比例式，称为「
坎迪定理」，这对2，3均成立
发展历史
这个命题最早作为一个征解问题出现于公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页（P39-40）上。有意思的是，直到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。
这篇文章登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由
理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。
另外一种早期的证明由M.布兰德（Mile Brand）1827年的一书中给出。最为简洁的证法是
射影几何“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《
美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。
1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用
解析几何的一种比较简单的方法，利用
直线束，
二次曲线束。
定理意义
蝴蝶定理是古典欧式
平面几何的最精彩的结果之一。这个定理的证法不胜枚举，仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。