边缘检测

边缘检测是图像处理和计算机视觉中的基本问题，边缘检测的目的是标识数字图像中亮度变化明显的点。图像属性中的显著变化通常反映了属性的重要事件和变化。这些包括（i）深度上的不连续、（ii）表面方向不连续、（iii）物质属性变化和（iv）场景照明变化。边缘检测是图像处理和计算机视觉中，尤其是特征提取中的一个研究领域。

简介

图像边缘检测大幅度地减少了数据量，并且剔除了可以认为不相关的信息，保留了图像重要的结构属性。有许多方法用于边缘检测，它们的绝大部分可以划分为两类：基于查找一类和基于零穿越的一类。基于查找的方法通过寻找图像一阶导数中的最大和最小值来检测边界，通常是将边界定位在梯度最大的方向。基于零穿越的方法通过寻找图像二阶导数零穿越来寻找边界，通常是Laplacian过零点或者非线性差分表示的过零点。

属性

边缘可能与视角有关—— 也就是说边缘可能随着视角不同而变化，典型地反映在场景、物体的几何形状一个将另一个遮挡起来，也可能与视角无关——这通常反映被观察物体的属性如表面纹理和表面形状。在二维乃至更高维空间中，需要考虑透视投影的影响。

一个典型的边界可能是，例如一块红色和一块黄色之间的边界，与此相反的是边线可能是在另外一种不变的背景上的少数不同颜色的点。在边线的每一边都有一个边缘。在许多图像处理的应用中边缘都起着非常重要的作用。然而，在最近几年，不明显依赖于边缘检测作为预处理的计算机视觉处理方法研究取得了一些实质性的研究成果。

简单模型

自然界图像的边缘并不总是理想的阶梯边缘。相反，它们通常受到一个或多个下面所列因素的影响：

1)有限场景深度带来的聚焦模糊。

2)非零半径光源产生的阴影带来的半影模糊。

3)光滑物体边缘的阴影。

4)物体边缘附近的局部镜面反射或者漫反射。

尽管下面的模型不很完美，但是误差函数erf 是常被用于实际应用中边缘模糊效果的建模。

这样，一个在位置 0 有一个边界的一维图像 f 可以用下面的模型来表示，其中σ 被称为边缘模糊度：

这样，在边界的左侧亮度是：

右侧亮度是：

注意 f 可以写为卷积：

其中 gσ 是标准偏差σ 的高斯核，u 是下面定义的一个阶跃函数：

检测边缘

如果将边缘认为是一定数量点亮度发生变化的地方，那么边缘检测大体上就是计算这个亮度变化的导数。为简化起见，我们可以先在一维空间分析边缘检测。在这个例子中，我们的数据是一行不同点亮度的数据。例如，在下面的1维数据中我们可以直观地说在第4与第5个点之间有一个边界：

除非场景中的物体非常简单并且照明条件得到了很好的控制，否则确定一个用来判断两个相邻点之间有多大的亮度变化才算是有边界的阈值，并不是一件容易的事。实际上，这也是为什么边缘检测不是一个微不足道问题的原因之一。

检测方法

有许多用于边缘检测的方法, 他们大致可分为两类：基于搜索和基于零交叉。

基于搜索的边缘检测方法首先计算边缘强度，通常用一阶导数表示，例如梯度模，然后，用计算估计边缘的局部方向，通常采用梯度的方向，并利用此方向找到局部梯度模的最大值。

基于零交叉的方法找到由图像得到的二阶导数的零交叉点来定位边缘。通常用拉普拉斯算子或非线性微分方程的零交叉点。

滤波做为边缘检测的预处理通常是必要的，通常采用高斯滤波。

已发表的边缘检测方法应用计算边界强度的度量，这与平滑滤波有本质的不同。正如许多边缘检测方法依赖于图像梯度的计算，他们用不同种类的滤波器来估计x-方向和y-方向的梯度。

计算一阶导数

许多边缘检测操作都是基于亮度的一阶导数——这样就得到了原始数据亮度的梯度。使用这个信息我们能够在图像的亮度梯度中搜寻峰值。如果 I(x) 表示点 x 的亮度，I′(x) 表示点 x 的一阶导数（亮度梯度），这样我们就会发现：

对于更高性能的图像处理来说，一阶导数能够通过带有掩码的原始数据（1维）卷积计算得到。

计算二阶导数

其它一些边缘检测操作是基于亮度的二阶导数。这实质上是亮度梯度的变化率。在理想的连续变化情况下，在二阶导数中检测过零点将得到梯度中的局部最大值。另一方面，二阶导数中的峰值检测是边线检测，只要图像操作使用一个合适的尺度表示。如上所述，边线是双重边缘，这样我们就可以在边线的一边看到一个亮度梯度，而在另一边看到相反的梯度。这样如果图像中有边线出现的话我们就能在亮度梯度上看到非常大的变化。为了找到这些边线，我们可以在图像亮度的二阶导数中寻找过零点。如果 I(x) 表示点 x 的亮度，I′′(x) 表示点 x 亮度的二阶导数，那么：

同样许多算法也使用卷积掩码快速处理图像数据：

步骤：

①滤波：边缘检测算法主要是基于图像强度的一阶和二阶导数，但导数的计算对噪声很敏感，因此必须使用滤波器来改善与噪声有关的边缘检测器的性能。需要指出，大多数滤波器在降低噪声的同时也导致了边缘强度的损失，因此，增强边缘和降低噪声之间需要折中。

②增强:增强边缘的基础是确定图像各点邻域强度的变化值。增强算法可以将邻域(或局部)强度值有显著变化的点突显出来。边缘增强一般是通过计算梯度幅值来完成的。

③检测：在图像中有许多点的梯度幅值比较大，而这些点在特定的应用领域中并不都是边缘，所以应该用某种方法来确定哪些点是边缘点。最简单的边缘检测判据是梯度幅值阈值判据。

④定位：如果某一应用场合要求确定边缘位置，则边缘的位置可在子像素分辨率上来估计，边缘的方位也可以被估计出来。在边缘检测算法中，前三个步骤用得十分普遍。这是因为大多数场合下，仅仅需要边缘检测器指出边缘出现在图像某一像素点的附近，而没有必要指出边缘的精确位置或方向。

边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对象与背景间的交界线。我们将边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界。图像灰度的变化情况可以用图像灰度分布的梯度来反映，因此我们可以用局部图像微分技术来获得边缘检测算子。经典的边缘检测方法，是通过对原始图像中像素的某小邻域构造边缘检测算子来达到检测边缘这一目的的。

阈值确定

一旦我们计算出导数之后，下一步要做的就是给出一个阈值来确定哪里是边缘位置。阈值越低，能够检测出的边线越多，结果也就越容易受到图片噪声的影响，并且越容易从图像中挑出不相关的特性。与此相反，一个高的阈值将会遗失细的或者短的线段。一个常用的这种方法是带有滞后作用的阈值选择。这个方法使用不同的阈值去寻找边缘。首先使用一个阈值上限去寻找边线开始的地方。一旦找到了一个开始点，我们在图像上逐点跟踪边缘路径，当大于门槛下限时一直纪录边缘位置，直到数值小于下限之后才停止纪录。这种方法假设边缘是连续的界线，并且我们能够跟踪前面所看到的边缘的模糊部分，而不会将图像中的噪声点标记为边缘。

边缘检测算子

一阶:：Roberts Cross算子，Prewitt算子，Sobel算子， Kirsch算子，罗盘算子；

二阶： Marr-Hildreth，在梯度方向的二阶导数过零点，Canny算子，Laplacian算子。

Canny算子（或者这个算子的变体）是最常用的边缘检测方法。在 Canny 创造性的工作中，他研究了设计一个用于边缘检测最优预平滑滤波器中的问题，后来他说明这个滤波器能够很好地被一阶高斯导数核优化。另外 Canny 引入了非最大抑制概念，它是说边缘定义为在梯度方向具有最大梯度值的点。

在一个离散矩阵中，非最大抑制阶梯能够通过一种方法来实现，首先预测一阶导数方向、然后把它近似到45度的倍数、最后在预测的梯度方向比较梯度幅度。

一个获得亚点精度边缘的改进实现是通过检测梯度方向上二阶方向梯度的过零点来实现的:

它在梯度方向的三阶方向梯度满足符号条件

其中 Lx, Ly ... Lyyy 表示从使用高斯核平滑原始图像得到的尺度空间表示 L 计算出的偏微分。

按照这种方法，能够自动得到亚点精度的连续曲线边缘。滞后门槛也可以用在这些差分边缘片断。

罗盘算子是斯坦福大学的Ruzon在1999年提出的一个新的算子，据实验以及报道，性能超过Canny算子。

Sobel边缘检测

Sobel边缘检测算法比较简，实际应用中效率比canny边缘检测效率要高，但是边缘不如Canny检测的准确，但是很多实际应用的场合，sobel边缘却是首选，尤其是对效率要求较高，而对细纹理不太关心的时候。

Sobel边缘检测通常带有方向性，可以只检测竖直边缘或垂直边缘或都检测。

所以我们先定义两个梯度方向的系数：

kx=0;ky=1;% horizontal

kx=1;ky=0;% vertical

kx=1;ky=1;% both

然后我们来计算梯度图像，我们知道边缘点其实就是图像中灰度跳变剧烈的点，所以先计算梯度图像，然后将梯度图像中较亮的那一部分提取出来就是简单的边缘部分。

Sobel算子用了一个3*3的滤波器来对图像进行滤波从而得到梯度图像，这里面不再详细描述怎样进行滤波及它们的意义等。

竖起方向的滤波器：y_mask=op = [-1 -2 -1;0 0 0;1 2 1]/8;

水平方向的滤波器：op的转置：x_mask=op’;

定义好滤波器后，我们就开始分别求垂直和竖起方向上的梯度图像。用滤波器与图像进行卷积即可：

bx = abs(filter2(x_mask,a));

by = abs(filter2(y_mask,a));

上面bx为水平方向上的梯度图像，by为垂直方向上的梯度图像。为了更清楚的说明算法过程，下面给出一张示例图像的梯度图像。

边缘检测

所谓边缘是指其周围像素灰度急剧变化的那些象素的集合，它是图像最基本的特征。边缘存在于目标、背景和区域之间，所以，它是图像分割所依赖的最重要的依据。由于边缘是位置的标志，对灰度的变化不敏感，,因此，边缘也是图像匹配的重要的特征。

边缘检测和区域划分是图像分割的两种不同的方法，二者具有相互补充的特点。在边缘检测中，是提取图像中不连续部分的特征，根据闭合的边缘确定区域。而在区域划分中，是把图像分割成特征相同的区域，区域之间的边界就是边缘。由于边缘检测方法不需要将图像逐个像素地分割，因此更适合大图像的分割。

边缘大致可以分为两种，一种是阶跃状边缘，边缘两边像素的灰度值明显不同；另一种为屋顶状边缘，边缘处于灰度值由小到大再到小的变化转折点处。边缘检测的主要工具是边缘检测模板。我们以一个一维模板为例来考察边缘检测模板是如何作用的。

模板的作用是将右邻点的灰度值减去左邻点的灰度值作为该点的灰度值。在灰度相近的区域内，这么做的结果使得该点的灰度值接近于0；而在边缘附近，灰度值有明显的跳变，这么做的结果使得该点的灰度值很大，这样就出现了上面的结果。这种模板就是一种边缘检测器，它在数学上的涵义是一种基于梯度的滤波器，习惯上又称边缘算子。我们知道，梯度是有方向的，和边缘的方向总是垂直的。模板是水平方向的，而上面那幅图象的边缘恰好是垂直方向的，使用模板就可以将它检测出来。如果图象的边缘是水平方向的，我们可以用梯度是垂直

方向的模板检测它的边缘。如果图象的边缘是45。方向的，我们可以用模板检测它的边缘。

常用的边缘检测模板有Laplacian算子、Roberts算子、Sobel算子、log（Laplacian-Gauss）算子、Kirsch算子和Prewitt算子等。

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