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连续统

数学概念

连续统是一个数学概念。当人们笼统地说：“在实数集里实数可以连续变动”，也就可以说实数集是个连续统；更严格的描述需要使用序理论、拓扑学等数学工具。这里的连续是相对于离散的概念而言的。在不讨论精确的定义前，有时人们也会谈到一个量可以在某范围内连续取值，或者说该量的变化范围是一个连续统。在数学上，连续统这一术语至少有两种精确定义，但并不等价。另外，连续统一词有时即指实数线或者实数集，这是较旧的叫法；见连续统假设。

简介
连续统指连续不断的数集，原意是为了强调实数的连续性而给实数系的另一名称，现在的含义更广泛了，由于实数与直线上的点一一对应，直觉上直线是连续而不断开点，因此，把实数系称作连续统，由于区间内的点也有类似性质，故把区间也称作连续统、三维连续统等称呼，例如，平面是二维连续统，空间是三维连续统。
概念
连续统在数序中的定义：与区间(0，1)对等的集合就叫做连续统，对等就是找到一个映射，使得他们之间的元素满足一一映射。
有序集
在集合论中，连续统是一个拥有多于一个元素的线性序集，而且其序满足如下性质（具此性质的序称为“稠密无洞”的）：
稠密：在任意两个元素之间存在第三个元素 ；
无洞：有上界的非空子集一定有上确界 实数集即为连续统的例子；实际上它是连续统的原型。
以下是连续统的几个例子：
序结构与实数集同构（序同构）的集合，例如实数集里的任何开区间 扩展的实数轴，以及序同构于它的，比如单位区间。 实的半开半闭区间如 (0,1] 等，以及其序同构。 拓扑学中有一种比实数线还要长的“长线”（en:long_line） 非标准分析中的超实数集。
连续统的基数
康托的连续统假设有时会被叙述成“在连续统的基数和自然数的基数之间不存在任何基数”，这里的“连续统”指的是实数集；连续统的基数即特指实数集的基数。
拓扑学
在点集拓扑学中，一个连续统是指任何非空的紧致连通度量空间（或者非空的紧致连通豪斯多夫空间，但较少用）。
按照以上定义，一个单点集也是连续统。拥有多于一个点的连续统称为非退化的连续统；由连通性和豪斯多夫性质，可知它一定含有无穷个点。连续统理论即是拓扑学中研究拓扑连续统的分支。其中一个有趣的问题是不可分解连续统的存在性：
是否存在这样的连续统 C ，它可以写成两个连续统的并集，且这两个都是 C 的真子集？ 答案是肯定的，第一个例子由鲁伊兹·布劳威尔给出。
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