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迭代函数

在碎形和动力系统中深入研究的对象

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令(或一定步骤)进行重复执行,在每次执行这组指令(或这些步骤)时,都从变量的原值推出它的一个新值。在数学中，迭代函数是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。

介绍
通过迭代，可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下，会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说，迭代也可以表现得从一个单一点发散；这种情况叫不稳定不动点。
当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候，轨道的会聚点的集合叫做极限集合或ω-极限集合。
吸引和排斥的想法类似推广；依据在迭代下小邻域行为，可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。
其他极限行为也有可能；比如，游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。
定义
在集合上的迭代函数的形式定义为:
设是集合和 是函数。定义 的次迭代为而 ，这里的是在 的恒等函数。
在上述中， 指示函数复合；就是说。
从迭代建立序列
函数的序列叫做Picard 序列，得名于Charles Émile Picard。对于一个给定 ，的值的序列叫做 的轨道。
如果对于某个整数有，则轨道叫做周期轨道。对于给定最小的这种值叫做轨道的周期。点自身叫周期点。
不动点
如果m=1，就是说如果对于某个X中的x有f(x) =x，则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fix（f）。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性，包括巴拿赫不动点定理和Brouwer不动点定理。
有很多技术通过不动点迭代产生了序列收敛加速。例如，应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法，生成二次收敛。 不动点理论同样也适用于经济学领域。
极限行为
通过迭代，可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下，会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说，迭代也可以表现得从一个单一点发散；这种情况叫不稳定不动点。
当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候，轨道的会聚点的集合叫做极限集合或ω-极限集合。
吸引和排斥的想法类似推广；依据在迭代下小邻域行为，可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。
其他极限行为也有可能；比如，游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。
例子
著名的迭代函数包括曼德博集合和迭代函数系统。
如果f是一个群元素在一个集合上的作用，则迭代函数对应于自由群。
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