配丛

纤维丛理论名词

在数学中，带有结构群 G（拓扑群）的纤维丛理论允许产生一个配丛（associated bundle）的操作，将丛的典型纤维由 F1 变成 F2，两者都是具有群 G 作用的拓扑空间。

定义

一般配丛

由定义，有G在纤维F上一个左作用（作为变换群）。此外假设这个作用是有效的。

则存在E的一个由X的一个开覆盖{Ui}，以及一族纤维映射{φi: π-1(Ui) →Ui×F}组成的局部平凡化，使得转移函数由G的元素给出。

更确切地，存在连续函数gij: (Ui∩Uj) →G使得ψij(u,f):= φio φj-1(u,f) = (u,gij(u)f) 对每个(u,f)∈(Ui∩Uj)×F。

现在设F′是一个给定的拓扑空间，配有G的一个有效左作用。则得到相配于E，且具有纤维F′的纤维丛E′，且其转移函数为ψ′ij(u,f′) = (u,gij(u)f′)，对(u,f′)∈(Ui∩Uj)×F′。这里G值函数gij(u)与由原先的丛E的局部平凡化得到的相同。

这个定义显然遵守转移函数的上链条件，因为在每一种情形它们由同样G值函数系统给出（使用另一个局部平凡化，如果有必要使用一般的加细过程，则gij通过相同的上边缘变换）。从而，由纤维丛构造定理（fiber bundle construction theorem），这样便产生了所要求的具有纤维F′的纤维丛E′。

主丛配于纤维丛

当G在F′上的作用为左平移时，F′是G在自身上左作用的一个主齐性空间，如果此外新纤维F′等同于G（从而F′不仅有左作用也继承了G的一个右作用），则配丛E′称为相配于纤维丛E的主G丛。G在F′上的右作用诱导了G在E′上的右作用。通过选取等同化，E′成为通常意义的主丛。

注意，尽管没有典范的方式选取G的一个主齐性空间上的右作用，任何这样的作用将得出相同的具有结构群G的承载纤维丛（因为这是由G的左作用得到），而且作为G空间在存在一个整体定义的G值函数联系两者的意义下同构。

以这样方式，装备一个右作用的主G丛通常视为确定具有结构群G的纤维丛的数据之一部分，因为对纤维丛我们可以由配丛构造法来建构主丛。在下一节中，我们经相反的道路利用一个纤维积得到任何纤维丛。

纤维丛配于主丛

设π:P→X是一个主G丛，Homeo(F)为拓扑空间F的同胚群，Homeo(F)的拓扑为紧开拓扑，令ρ:G→Homeo(F) 是G在空间F上一个态射，ρ为G在F上的有效作用。

在P×F上定义G的一个自由右作用为

以这个作用作为等价关系，得到商空间(轨道空间)E=P×ρF=(P×F)/G。

将(p,f)的等价类记为[p,f]，定义投射πρ:E→X为πρ([p,f])=π(p)。则 πρ:E→X是一个主丛π的配丛，具有纤维F与结构群G。

转移函数由 ρ(tij) 给出，这里tij是主丛P的转移函数。

构造

一般地只需解释由一个具有纤维F作用的丛，G作用在F上，变为相配的主丛（即以G为纤维的丛，考虑为作用在自身的平移）。然后，我们可由F1经过主丛变为F2。由一个开覆盖数据表述的细节由下降的一种情形给出。

这一节是这样组织的：我们首先引入从一个给定的纤维丛，产生一个具有制定的纤维的配丛的一般程序。然后是当制定的纤维是关于这个群在自身上左作用的一个主齐性空间特例，得到了配主丛。如果另外，在主丛的纤维上给出了一个右作用，我们叙述如何利用纤维积构造任何配丛。

结构群的约化

简介

配丛的一个相伴的概念是一个G-丛B的结构群的约化。我们问是否存在一个H-丛C，使得相配的G-丛是B（在同构的意义下）。更具体地，这是问B的转移数据能否一致的取值于H中。换句话说，我们要求确认相配丛映射的像（这其实是一个函子）。

约化的例子

向量丛的例子包括：引入一个度量导致结构群由一个一般线性群约化为正交群O(n)；一个实丛的复结构的存在性导致结构群由实一般线性群 GL(2n,R) 约化为复线性群 GL(n,C)。

另一个重要的情形实寻找一个秩n向量丛V的作为秩k与秩n-k子丛的惠特尼和，这将导致结构群由 GL(n,R) 约化为 GL(k,R) × GL(n-k,R).

我们也能将叶状结构的条件表述为将切丛的结构群约化为分块矩阵子群——但这里约化只是必要条件，还有一个可积性条件使得弗罗贝尼乌斯定理可以使用。

例子

一个简单的例子来自莫比乌斯带，这里G是 2 阶循环群。我们可任取F为实数线、区间、去掉 0 的实数线或两个点的集合。直觉看来G在它们上的作用（在每种情形，非单位元素作用为）是可比较的。可以更形式地说，把两个矩形与黏合在一起：我们其实需要的是将一端的直接与自己等同，而在另一端扭转后等同。这个数据可用一个取值于G的补丁函数记下。配丛构造恰是观察到这个数据对与对是一样的。

对具有结构群G的纤维丛F，纤维在两个局部坐标系Uα与Uβ交集上的转移函数（即上链）由一个Uα∩Uβ上G-值函数gαβ给出。我们可以构造一个纤维丛F′ 有同样的转移函数，但可能具有不同的纤维。

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