阿贝尔-鲁菲尼定理

数学代数求根定理

阿贝尔—鲁菲尼定理指出，五次及更高次的代数方程没有一般的代数解法，即这样的方程不能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。

定理定义

阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解。事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根。然而代数基本定理并没有说明根的具体形式。通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示。例如，任意给定二次方程，它的两个解可以用方程的系数来表示：

这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解。三次方程、四次方程的根也可以使用类似的方式来表示。阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：，那么不存在一个通用的公式（求根公式），使用和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解。或者说，当n大于等于5时，存在n次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到。换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式。这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解。比如的解之一是。

具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦给出，因此相关理论也被称为伽罗瓦理论。简单来说，某多项式方程有代数解，等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群。对于一般的二次、三次和四次方程，它们对应的伽罗瓦群是二次、三次和四次对称群：,,，它们都是可解群。但一般的五次方程对应的是五次对称群，这是一个不可解群。当次数n大于等于5时，情况也是如此。

发展简史

1824年，阿贝尔证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式。所谓方程有根式解(代数可解)，就是这个方程的解可由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来。关于代数方程的求解，从16世纪前半叶起，已成为代数学的首要问题，一般的三次和四次方程解法被意大利的几位数学家解决。在以后的几百年里，代数学家们主要致力于求解五次乃至更高次数的方程，但是一直没有成功。对于方程论，拉格朗日比较系统地研究了方程根的性质(1770)，正确指出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，从而实现了代数思维方式的转变。尽管拉格朗日没能彻底解决高次方程的求解问题，但是他的思维方法却给后人以启示。P．鲁菲尼(Ruffini)于1799年首次证明了高于四次的一般方程的不可解性，但其“证明” 存有缺陷。两年以后，高斯解决了分圆方程的可解性理论问题。拉格朗日和高斯的工作是阿贝尔研究工作的出发点。中学时，他就读过拉格朗日关于方程论的著作，大学一年级开始全面研究高斯的《算术研究》(Disquis-tiones arithmeticae)。后来，他又了解了柯西关于置换理论方面的成果。然而，他当时并不晓得鲁菲尼的工作。阿贝尔就是在这种背景下思考代数方程可解性理论问题的．

1824年，阿贝尔首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正确证明。更进一步的说明，发表在1826年克雷杂志第一期上，题目为“高于四次的一般方程的代数解法不可能性的证明”．在这篇论文中，阿贝尔讨论并修正了鲁菲尼论证中的缺陷。鲁菲尼的“证明”缺乏数域的概念，所以不可能在由已知方程的系数所确定的基础域及域的扩张下进行工作。另外，鲁菲尼“证明”中还用到了一个未加证明的关键性命题，后称阿贝尔定理。该定理说，如果一个代数方程能用根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式，一定可以表达成方程诸根及某些单位根的有理函数。阿贝尔就是应用这个定理证明高于四次的一般方程不能有根式解的。

上面所说的阿贝尔定理，也就是“置换群”的思想。

他在进一步思考哪些方程（比如x^n-1=0）才可用根式解的问题的时候，阿贝尔证明了下述定理：对于一个任意次的方程，如果方程所有的根都可用其中的一个根有理地表出(我们用x表示)，并且任意两个根Q(x)与Q1(x)(这里Q，Q1均为有理函数)，满足关系QQ1(x)=Q1Q(x)，那么所考虑的方程总是代数可解的．或者说，根xi=Q1(Xi)，Q2(Xi)，…，Qn(Xi)是根x1，x2，…，xn的一个置换．方程根进行这样置换的个数是n．阿贝尔考虑并证明了这些置换的性质，这就是“置换群”。

阿贝尔遗作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿，即“关于函数的代数解法”(Sur la résolution algébrique des fonctions，1839)．文中叙述了方程论的发展状况，重新讨论了特殊方程可解性的问题，为后来E·伽罗瓦(Galois)遗作的出版开辟了道路．在前言部分，阿贝尔暗示出一种重要的思维方法，他认为解方程之前，应首先证明其解的存在性，这样可使整个过程避免“计算的复杂性”．在代数方程可解性理论研究中，他还提出了一个研究纲领，就是在他的工作中需要解决两类问题：一是构造任意次数的代数可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解．他试图全部刻画可用根式求解的方程的特性．但因早逝而没能完成这个工作，他只解决了第一类问题．几年后，伽罗瓦接过他的工作，用群的方法彻底解决了代数方程的可解性理论问题，从而建立了现在所谓的伽罗瓦理论．

19世纪之前的300年间，数学家们一直为证明一元四次以上的方程是否有解而忙碌着，可惜他们不是望而却步，就是半途而废，没有一位能揭开这个结。1818年，挪威一位16岁的男孩，在研究了前人的有关这一问题的大量资料后，坚定地对他的老师说：“让我来解答这一历史难题吧，我能证明四次以上的方程是否有解。”他凭着自信，聪明和勤奋，花了六年的时间，给了历史一个圆满的回答：一般高于四次的方程没有代数解。这就是著名的阿贝尔-鲁菲尼定理。

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