阿贝尔扩张

数学术语

阿贝尔扩张(Abelian extension)是一类重要的域扩张，设K是域F的伽罗瓦扩域，若其伽罗瓦群G(K/F)为一阿贝尔群，则称此扩张为阿贝尔扩张，此时，K称为F上阿贝尔扩域。这是一类较广泛的域扩张，循环扩张、分圆扩张及库默尔扩张等均为阿贝尔扩张的特例。

定义

一个扩张称为阿贝尔扩张，如果是阿贝尔群。一个一次根式扩张是一个阿贝尔扩张。

相关概念

多重阿贝尔扩张

多重阿贝尔扩张(multiple Abelian extension)是由一串阿贝尔扩域构成的域扩张，设K是域F的扩域，若存在K的一串子域链

使得是的阿贝尔扩域，则称K为F的多重阿贝尔扩张，或多重阿贝尔扩域。根式扩域、素阶群扩张塔皆为多重阿贝尔扩域。

库默尔扩张

库默尔扩张(Kummer extension)是阿贝尔扩张的一种类型，设E是域F的一个阿贝尔扩域，若E/F的伽罗瓦群G=G(E/F)中元素的最大阶数为m(m称为G的指数)，并且F含m个不同的m次单位根，则E称为F的库默尔m扩张；E称为库默尔域，例如，设F含本原n次单位根，且E为多项式

在F上的分裂域，则E是F的库默尔n扩张。此时，E是F的阿贝尔扩域且F的特征数不能整除n，于是，在E内无重根，所以，E/F是可分的，从而是正规的。

分圆域扩张

分圆域扩张(cyclotomic field extension)是一类重要的阿贝尔扩张，设Ω是域F的代数闭包，其中间域K称为F的一个分圆扩域，若K是通过对F添加某些单位根而生成的，此域扩张称为分圆域扩张。K是域F的有限次分圆扩域的充分必要条件为，存在一个本原单位根ξ∈K，使K=F(ξ)。对有理数域Q添加一个本原n次单位根ξ所得的分圆扩张Q(ξ)称为圆的n分域，它是有理数域Q的φ(n)次阿贝尔扩域，其中φ(n)为欧拉函数。n分域来源于

其中，从而可将单位圆n等分。

克罗内克青春之梦

克罗内克青春之梦(Kronecker’sdream of youth)是代数数论中分圆域理论方面的一个问题。所谓分圆域，是指在有理数域上添加n次本原单位根而得到的数域。如果L/K是数域的阿贝尔扩张，且它的伽罗瓦群是阿贝尔群，那么L被称为K的阿贝尔扩张。如果K是有理数域Q的阿贝尔扩张，那么K被称为阿贝尔数域。从伽罗瓦理论可知，分圆域的每个子域都是阿贝尔数域，反之，每个阿贝尔数域也必定是某个分圆域的子域，这就是著名的韦伯-克罗内克定理。关于希尔伯特第12问题：能否对任意的代数数域K明显地构造出K的全部阿贝尔扩张?上述定理给出了K=Q时的结果。1853年，30岁的德国数学家克罗内克猜想：每个虚二次域K的极大阿贝尔扩域是将K添加某种椭圆函数在全部有理点处的取值而得到的域，这就是所谓克罗内克青春之梦。这一猜想引起许多学者的兴趣，希尔伯特也曾做过重要工作。1920年，日本数学家高木贞治创立了类域论，他把类域的定义作了推广，证明了一个代数数域的任何阿贝尔扩张都可以表示为该数域上的类域。这样一来，一般阿贝尔扩张的性质就十分清楚了，从而彻底解决了克罗内克的猜想。

类域论

基本介绍

类域论是代数数论中最为重要的理论之一，也是数学所有理论中体系最为完美的理论之一，它深刻地刻画了(相对)阿贝尔扩张。

类域论是描述下列几种类型的域k的Abel扩张(Galois群是交换群的有限Galois扩张)的理论：

(1)k为代数数域，即有理数域Q的有限扩张；

(2)k是p-adic数域的有限扩张；

(3)k是有限域上一个变量的代数函数域；

(4)k是有限域上的形式幂级数域。

类域论基本定理

在类域论中，最为著名的就是由Kronecker，Weber，HiIberr还有其他一些数学家总结出来的类域论基本定理：

定理1(类域论基本定理)若是数域的有限Abel扩张，其Galois群为，则存在k的模(称为的导子，是的一个除子)。

(1)使得对k的任意模m，由得出