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零点集

定义在域 k 上的函数

设是定义在域 k 上的函数， 我们把方程 f=0 在域 k 中的解称作f (在k中)的零点. 所有零点构成的集合称作零点集。

定义
设是定义在域k上的一组函数，那么方程组在域 k 中的公共解称作它们的公共零点。
所有公共零点构成的集合称作公共零点集。
代数定义
设f_1,...f_s是系数定义在域k上的一组多项式， 那么方程组f_1=...=f_s=0在域 k 中公共解称作它们的公共零点，
如果k是代数闭域， 那么上述方程组的公共零点集也称做（仿射）代数簇. 如果f_i都是齐次方程, 那么公共零点集也称射影代数簇。 代数几何就是要研究代数簇的几何结构与方程的代数结构（即理想）之间的深刻联系--这也是传统解析几何的推广和发展。
例子
1. 黎曼zeta函数(ζ-函数)：ζ(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+...1/n^s+...解析延拓到整个复平面上有很多零点， 其中一些容易求出，称作平凡零点；其余的零点称作非平凡零点。 黎曼猜测非平凡零点都落在实部为1/2的直线上--即著名的黎曼假设（也称黎曼猜想）。
2. 单变量多项式f(x)=a_nx^n+...a_1x+a_0(这里a_i是复数)对应的方程f(x)=0的零点就是我们常说的方程的根（在复数域上）。
高斯代数学基本定理： n次多项式方程的零点恰好有n个（允许重根）。
阿贝尔定理: 5次及5次以上的多项式方程的零点不存在一般的求根公式。
伽罗华理论: 多项式方程有求根公式当且仅当它的伽罗华群是可解的。
3. 初等数论的不定方程f(x,y)=0, 这里f是定义在有理数域Q上的二元多项式。 通常要求它的有理数解（这样的零点称作有理点）或整数解（称作整点或格点）或者剩余类解（即有限域上的零点）。比如
佩尔方程： x^2-dy^2=1, 求整数解(x,y)
勾股方程: X^2+Y^2=Z^2 求整数解(X,Y,Z) (这也等价于求单位圆x^2+y^2=1上的有理数解)
二次剩余（也称平方剩余）: x^2-py=q求整数解(x,y) (等价于求剩余类方程x^2≡q(mod p)的剩余类解)。此方程有解的判定涉及著名的高斯二次互反律。
费马方程: X^n+Y^n=Z^n (n＞2)求整数解(X,Y,Z), 要求XYZ≠0 . 费马曾猜测该不定方程无解--即著名的费马大定理， 由外尔斯与1994年获证--其中用到了椭圆曲线的性质。
零点集性质
1. （全纯函数零点定理）单变量复全纯函数的零点集是离散的。 换言之， 如果全纯函数的一组零点收敛于定义域中的某个点， 那么该函数恒为0.
该定理的等价描述就是所谓的全纯函数刚性定理： 两个全纯函数如果在一组收敛点列上取值相同，那么它们必定处处相等。 刚性定理是复变函数中的解析延拓定理的基础。
2. 儒歇定理： 假设两个全纯函数在边界上恒有|f|＜|g|, 那么在该边界所围的区域内g和g+f的零点个数相同（允许重根）
3. 辐角原理： 全纯函数f(z)当z绕边界旋转一周时像点f(z)所绕的圈数等于零点个数减去极点个数（允许重根）
4. 希尔伯特零点定理： 代数闭域k上的多项式方程组f_1=...=f_s=0无公共零点（即零点集为空集）当且仅当存在多项式a_1,...,a_s使得a_1f_1+...+a_sf_s=1.
零点集与理想
这里考虑多项式方程组f_1=...=f_s=0。
我们把所有如下形式的多项式构成的集合称作由f_1,...f_s生成的理想， 记作I=〈f_1,...f_s〉：
a_1f_1+...+a_sf_s, 这里a_i是任何多项式.
显然理想中的任何多项式元素都在公共零点集上取值为零。换言之， 我们在原方程组中添入理想中的若干多项式方程，并不影响方程的零点集。
无限个方程组 f_1=...=f_s=...=0也可以类似定义理想I=〈f_1,...f_s，...〉
希尔伯特基定理： 上述理想一定是有限生成的, 也就是说我们可以挑出有限个元素，f_{i1}, f_{i2},...f_{ik}使得
〈 f_{i1},...,f_{ik} 〉 =〈f_1,...f_s，...〉
这就是说无限方程组的求解总是可以化成有限个方程组的求解。
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