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霍普夫不变量

数学术语

在数学特别是代数拓扑学中，霍普夫不变量（Hopf invariant）是球面之间某些映射的一个同伦不变量。

历史
1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（Clifford parallel）构造了霍普夫映射 ，并通过利用圆周 对任意 的环绕数（=1），证明了 是本质的，即不同伦于常值映射。随后证明了同伦群 是由 生成的无限循环群。1951年，让-皮埃尔·塞尔证明了对一个奇数维球面（n 奇）有理同伦群 是零除非 i = 0 或 n。但对一个偶数维球面（ n 偶），在 次处多出一个无限循环同伦。
定义
设 是一个连续映射（假设 ）。则我们可以构造胞腔复形
这里 是2n-维圆盘通过 贴上一个 。 胞腔链群 在度数n只是由n-胞腔自由生成，故它们在度数 0、n 与 2n是 ，其余都是零。胞腔（上）同调是该链复形的（上）同调，因为所有边缘同态必然是零（注意到 n>1），上同调是
记这些上同调群的生成元为
与
因为维数原因，这些类之间的所有杯积除了 一定都是平凡的。从而作为一个环，上同调是
整数 是映射 的霍普夫不变量。
性质
定理： 是一个同态。进一步，如果n是偶数，则h映到 。
对霍普夫映射霍普夫不变量是1（这里 n=1,2,4,8，分别对应于实可除代数 ，而二重复叠 将球面上的一个方向送到它生成的子空间）。只有这些映射的霍普夫不变量是 1，这是最先由弗兰克·亚当斯（Frank Adams）证明的一个定理，后来迈克尔·阿蒂亚利用 K-理论重新给出了证明。
如果是映射度为的映射，那么.
如果是映射度为的映射，那么.
推广到稳定映射
可以定义一种非常一般的霍普夫不变量概念，但需要一些同伦论知识预备：
设 表示一个向量空间而 是其单点紧化，即对某个 有 而 。如果 是任意带基点的空间（在上一节中不明确），如果我们去无穷远点为 的基点，则我们可以构造楔积 。
现在令 是一个稳定映射，即在约化垂纬函子下稳定。F 的（稳定）几何霍普夫不变量是
是从 到 映射的稳定 -等变同伦群中一个元素。这里稳定意为“在垂纬下稳定”，即通常等变同伦群在 上（或 ）的正向极限；而 -的作用是 的平凡作用与交换 中两个因子。如果我们令表示典范对焦映射而是是恒等，则霍普夫不变量由下式定义：
这个映射原本是从到的映射。但在正向极限之下它成为映射的稳定同伦-等变群的典型元素。也有一个非稳定版本的霍普夫不变量，为此我们必须考虑向量空间 V。
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