非平凡解

高等数学内容

非平凡解是矩阵代数中的定义，属高等数学内容。非平凡解是齐次方程或齐次方程组的非零解。

概念

非平凡解是齐次方程或齐次方程组的非零解。假设AX=0，如果行列式|A|=0，那么A不可逆，则X有非平凡解；否则，A可逆，那么只有解X=0，即是平凡解。

解决非平凡问题的方法，有SVD法。

因为任何线性空间的子空间都过零点，所以明显的等于0的时候解是成立的，但这显然没什么意义，说这个0解是平凡的，否则，就存在不平凡解了。

齐次方程

若对多项式f(x1，x2，…，xn)中的变量作变换xi=tyi(i=1，2，…，n)，有f(x1，x2，…，xn)=tk·f(y1，y2，…，yn) (k∈N)，则称f(x1，x2，…，xn)为k次齐次式。简称齐次式。

若f(x1，x2，…，xn)是齐次式，则称方程：f(x1，x2，…，xn)=0为齐次方程。

例如，x+y+z=0，x3+xy2+x2y+y3=0等都是齐次方程。

由齐次方程的定义可知：①齐次方程的常数项是零；②齐次方程必有零解；③齐次方程各项未知数的次数都相同，也就是说是整齐的，所以称为齐次方程。

线性代数

线性代数是现代数学的重要基础之一，主要处理线性关系问题，数学对象的关系用一次形式表达的就是线性关系。例如，一次代数方程ax+b=c，对于变量x来说就是线性的。中学数学中由若干个变量的一次代数方程联系的线性方程组求解就是线性代数的基本问题之一。线性代数主要研究行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换和二次型等，矩阵是它的主要工具，形成了线性代数的核心内容。线性代数已是数学、物理、化学、工程、电工技术、天文、运筹等学科必不可少的理论基础与工具。由于线性代数的理论很成熟，一些复杂的非线性问题也可化为线性问题来求解，计算机辅助分析中的有限元法就是一个典型。有限元法把复杂产品的应力、应变的计算、热传导计算等，都化为庞大的线性代数方程组来求解，这对于有高速电子计算机的今天是容易办到的，这使过去很难精确计算的大型工程问题得以解决。20世纪中叶，线性代数趋于抽象化，线性空间被视为域上的模，一般模论尤其环上的模，在代数、几何与群表示论中有重要应用，也是研究同调代数、范畴论、代数拓扑的基础。

线性代数从一般线性方程组出发，以行列式、矩阵及其代数运算、向量及其线性关系 (线性相关，线性无关，线性组合等)、秩等为工具讨论了一般线性方程的四个问题：解存在的充分必要条件; 有解时解的个数; 有解时求解的方法; 矛盾方程组的判定。加减法、代入法等经高斯推广成为著名的高斯消元法，经改进在计算机上实现。从向量及其线性关系得到线性 (向量) 空间的概念，加入 “度量” 得到欧几里得空间。讨论了表现空间中向量间关系的线性变换，线性变换通过基底转化为矩阵表示，特别值得重视的是线性变换或矩阵的特征值与特征向量。

矩阵的初等变换 (与线性方程组紧密联系)，矩阵的标准形 (如对角形，若当标准形，有理标准形等)，矩阵的分解 (如上下三角形分解，可勒斯基分解等)，特殊矩阵 (如正交阵与酉阵——相当于空间的直角坐标变换、对称阵与额尔米特阵——与二次型紧密联系、反对称阵、稀疏矩阵、非负元素矩阵或称斯玛哈斯提阵——应用于概率论中马尔可夫链、力学中弹性振动的颤动性质) 等，组成线性代数的基本内容。还包括研究矩阵的微分与积分运算，矩阵函数，多重线性映射和张量。

矩阵

数学中重要的基本概念之一，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。

矩阵的理论起源，可追溯到18世纪，见于著作则是在19世纪。高斯在1801年，艾森斯坦在1844—1852年先后把一个线性变换的全部系数作为一个整体，并用一个字母来表示。艾森斯坦还强调乘法次序的重要性。这些工作孕育了矩阵的思想。

矩阵这个词是西尔维斯特首先使用的(1850)。矩阵的概念直接从行列式的概念而来，它作为表达一个线性方程组的简单记法而出现。脱离线性变换和行列式，对矩阵本身作专门研究，开始于英国数学家凯莱。1855年以后，凯莱发表了一系列研究矩阵理论的文章。他引进了关于矩阵的一些定义，如矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、矩阵的和、矩阵的乘积、矩阵的逆、转置矩阵、对称矩阵等，并借助于行列式定义了方阵的的特征方程和特征根。在1858年的文章中，凯莱证明了一个重要结果：任何方阵都满足它的特征方程。这个结果现被称为凯莱—哈密顿定理。由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人。

法国数学家埃尔米特、德国数学家克莱布什等研究了一些特殊矩阵的特征根的性质。德国数学家弗罗贝尼乌斯对矩阵理论做了进一步的工作。他探求矩阵的最小多项式，并指出最小多项式是唯一的(后来亨泽尔证明了这个结论);引进矩阵的秩的概念;整理了由西尔维斯特和外尔斯特拉斯提出的不变因子和初等因子的理论;给出凯莱—哈密顿定理的一般性证明;定义了正交矩阵并研究其性质。若尔当利用相似矩阵和特征方程的概念，证明了矩阵经过变换可相似于一个“标准型”，即所谓的若尔当标准型。在若尔当工作的基础上，弗罗贝尼乌斯讨论了合同矩阵与合同变换。弗罗贝尼乌斯关于矩阵理论的工作于1877年发表在《克雷尔杂志》上。至此，矩阵论的经典内容已建立起来。

1892年，美国数学家梅勒茨引进矩阵的超越函数的概念，并把它写成矩阵的幂级数的形式。凯莱把超复数视为矩阵的思想在19世纪末至20世纪初得到发展，与此相关形成矩阵不变量的理论。20世纪初由于积分方程的发展开始了对无穷矩阵的研究。由于近代物理的需要还开展了元素属于抽象域的矩阵的工作。矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵等矩阵的现代理论也逐步发展起来。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。

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