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预序关系

数学术语

预序关系（简称预序，又称先序，preorder）、在数学中，是一类接近于偏序关系的二元关系，但仅满足自反性和传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。

定义
考虑集合 P 及其上的二元关系 。若具有自反性和传递性，则称为预序。具体来说，对 P 的任意元素 a，b 和 c，下列性质成立：
自反性：a a
传递性：若a b且b c，则a c
带预序的集合称为预序集合（preordered set，或者proset）。
同时满足反对称性（若 a b 且 b a，则 a = b）的预序为偏序。
另一方面，如果一个预序满足对称性（若a b，则b a），则为等价关系。
说明
作为特例，空集上的空关系为一预序。空集加上空关系构成一预序集。
导出偏序
将预序集的等价元素等同起来，可得到由该预序集所导出的偏序集。具体过程如下：定义预序集 X 上的等价关系 ，使得 a b 当且仅当 a b 且 b a。定义所得商集 （所有 的等价类构成的集合）上的序关系 ，使得[x] [y] 当且仅当 x y。由 的构造可知， 的定义与所选等价类的代表元素无关，故上述定义明确。易证该关系为一偏序。
举例
参见
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