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鸡兔同笼

一种著名数学趣题

鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

历史背景
鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
这四句话的意思是：
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔？
这一问题的本质是一种二元方程。如果教学方法得当，可以让小学生初步地理解未知数和方程等概念，并锻炼从应用问题中抽象出数的能力。一般在小学四到六年级时，配合一元一次方程等内容教授。
同一本书中还有一道变题：
今有兽，六首四足；禽，四首二足，上有七十六首，下有四十六足。问：禽、兽各几何？答曰：八兽、七禽。
题设条件包括了不同数量的头和不同数量的足。
方法
古法
《孙子算经》的作者为本题提出了两种解法：
术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七，下有一除上三，下有二除上五，即得。
又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。
所谓的“上置”，“下置”指的是将数字按照上下两行摆在筹算盘上。在算筹盘第一行摆上数字三十五，第二行摆上数字九十四，将脚数除以二，此时第一行是三十五，第二行是四十七。用较小的头数减去较多的半脚数，四十减去三十（上三除下四），七减去五（上五除下七）。此时下行是十二，三十五减十二（下一除上三，下二除上五）得二十三。此时第一行剩下的算筹就是鸡的数目，第二行的算筹就是兔的数目。
另一种更简单的描述方法是：在第一行摆好三十五，第二行摆好九十四，将脚数除以2，用头数去减半脚数，用剩下的数（我们现在知道这是兔数）减去头数。这样第一行剩下的是鸡数，第二行剩下兔数。
至于头多于一个的“禽兽问题”，“孙子”给出的解法如下：
术曰：倍足以减首，余半之，即兽；以四乘兽，减足，余半之，即禽。
将脚数乘以两倍（此时禽脚与禽头的系数恰好相同），头数减去两倍脚数，除以二，得到兽的只数（八只），兽的只数乘以四（求出兽的脚数），总脚数减去兽的脚数再除以二，得到禽的只数。
如果对照下面的二元方程就会发现，古法相当于是只在操作方程等号的右半边，并没有详细说明操作的系数代表什么。于是也只有“心开者”才能触之即悟了。
本质解法
本题的推广“禽兽问题”就是一般的二元线性方程（二元一次方程）。
“鸡兔同笼”问题则是“禽兽问题”在条件下的特殊形式。
根据题设条件不同，特征值a和b可以是整数（鸡或兔的脚数）也可以是非整数（某种商品的单价）。
二元方程在初中时期的标准解法是代入法或加减法（也称高斯消去法）。按此列式解题即可。
当然也可以运用克拉默法则进行“矩阵除法”。计算过程和结果如下。
矩阵乘法，得以下求解公式：
表象解法
由于小学数学课程标准所限，向小学生使用二元方程解释该题的解法会遇到大量困难。所以需要准备一些只涉及问题表象的解法。所有表象解法都与该问题的本质有着一定的联系。
以下所有解法以古题所涉数字（头之和为35，脚之和为94，鸡有1个头2只脚，兔有1个头4只脚）为例。
猜测法
因为“鸡数”和“兔数”具有整数性质，可以选择把所有可能的整数组合列出，对照获得正确答案。
假设法
通过上文的列表法也可以让孩子直观地发现右边的规律。即“每减去一只兔子，增加一只鸡，总脚数就会减少两只”。反之亦然。
根据这个规律：
假设法的本质是设鸡数或兔数为x，脚数为y，从而有以下关系：
代入y=94，得2x=46，从而x=23
鸡翅法
鸡有两翅两腿，因此笼内翅腿总数为35×4=140只，其中有腿94只，则有翅140−94=46。
故鸡有46÷2=23只，兔有35−23=12只。
抬腿法
所有抬腿法的本质都是将二元方程的某种解法编成利于小学生理解的故事加以讲述。
方法一
假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。
数学语言描述：方程2除以2，得，整体减去方程1，.
方法二
假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡。
数学语言描述：方程2减去两倍方程1：
方法三
我们可以先让兔子都抬起2只脚，那么就有35×2=70只脚，脚数和原来差94-70=24只脚，这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起24只脚，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到鸡有23只。
数学语言描述：将方程2的系数拆分：，将方程1乘以2（只脚/只动物）：，方程2减去方程1，系数化为1，得y=12。
方程
鸡兔同笼的一元一次方程本质是二元方程的代入解法，省略了对方程1移项得y=35-x并代入方程2的步骤。
（一）解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只。
解得
则鸡有：35 - 12 = 23 只
（二）解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。
解得
则兔有：35 - 23 = 12（只）
答：兔子有12只，鸡有23只。
(注：在设方程的未知数时，通常选择腿多的动物，这将会使计算较简便)
公式
公式1：
（兔的脚数 × 总只数 - 总脚数）÷（兔的脚数 - 鸡的脚数）= 鸡的只数
总只数 - 鸡的只数 = 兔的只数
对应的二元方程操作：
公式2：
（总脚数 - 鸡的脚数 × 总只数）÷（兔的脚数 - 鸡的脚数）= 兔的只数
总只数 - 兔的只数 = 鸡的只数
对应的二元方程操作：
以上两个公式与”本质解法“中用线性代数方法推算出来的公式完全相等。
公式3：
总脚数 ÷ 鸡的脚数 - 总头数 = 兔的只数
总只数 -兔的只数 = 鸡的只数
对应的二元方程操作：
公式4：兔脚数*X + 鸡脚数（总数-X）=总脚数 （X = 兔，总数 - X = 鸡数。也就是鸡兔同笼一元方程的标准形式）。
所有预设公式都是将二元方程右边的值进行初等变换后的结果直接相加减得到的结果。
解题思路
理解
中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。
松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。
我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。
思路
算题。最早出现于《孙子算经》中。许多小学算术应用题假设法
例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只
244÷2=122（只）
在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数
122-88=34（只），
有34只兔子，当然鸡就有54只。
答：有兔子34只,鸡54只。
上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数÷2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=鸡数
上面的解法是《孙子算经
如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了
88×4-244=108（只）
每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡
(88×4-244)÷(4-2)= 54（只）.
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，
68÷2=34（只）.
兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。
假设法
例题
例2：“脚”数不是整数的情况：红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红，蓝铅笔各买几支？
蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)
=24÷8
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.
甚至不用特意将分数转化成整数，公式也成立：
蓝笔数=（0.19×16-2.8）÷（0.19-0.11）
=0.24÷0.08
=3（支）
答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。
8×(11+19)=240（支）
比280少40.
40÷(19-11)=5（支）
30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷(19-11)=3,
完整二元方程：
例3：“脚”数不是整数的情况之2：一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时. 甲打字用了多少小时？
解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份/小时），乙每小时打30÷10=3（份/小时）.
根据前面的公式
=4.5,
=2.5
也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。
答：甲打字用了4小时30分.
完整二元方程：
例4：未知量看起来很多的情况：1998年时，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？
(25×4-86)÷(4-3)=14（岁）.
1998年，兄年龄是
14-4=10（岁）.
父年龄是
(25-14)×4-4=40（岁）.
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是
(40-10)÷(3-1)=15（岁）.
这是2003年。
答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.
按照”正规“的做法，本题是一个四元方程：
通过数量关系消去两个未知数，可以把方程变形为”本质解法“中的已知形式，从而代入公式求解。
例5：动物数多于两种，特征值不止一种的情况：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？
蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)
=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式
蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）.
因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
三元方程如下：
本例中有8x+6（y+z）=118，先通过换元法将前两个方程打包成”本质解法“中的已知形式，解得中间元后再将后两个方程套用公式解得中间元的组成部分各是多少。
例6：有常量干扰的情况：某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
解：对2道，3道，4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-1×7-5×6=144（道）.
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（(2+3)÷2=2.5）.这样
兔脚数=4，鸡脚数=2.5,
总脚数=144，总头数=39.
对4道题的有
(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31（人）.
答：做对4道题的有31人。
二元方程如下（有些未知数具有等量关系）：
例7：脚数不是正数的情况：某次数学竞赛共有10题，答对加4分，答错或不答扣2分。一位同学得了4分，请问这位同学答对几题？
解：即使”脚“的数量不是正数，公式仍然可用。
对题数目：
（4-（-2）×10）/（4-（-2））=4（题）
以例1为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只。
解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。
4X+2×（88-X）=244
上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。4X就是兔子的脚数，2×（88-X）就是鸡的脚数。
4X+2×88-2X=244
2X+176=244
2X+176-176=244-176
2X=68
2X÷2=68÷2
X=34
即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54（只）。
答：兔子有34只，鸡有54只。
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