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黑塞矩阵

二阶偏导数构成的方阵

黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。

定义
在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数。
二元函数的黑塞矩阵
由高等数学知识可知，若一元函数 在 点的某个邻域内具有任意阶导数，则 在 点处的泰勒展开式为： ，其中 ， 。
二元函数 在 点处的泰勒展开式为：
其中， 。
将上述展开式写成矩阵形式，则有：
即：
其中：
是 在 点处的黑塞矩阵。它是由函数 在 点处的二阶偏导数所组成的方阵。
多元函数的黑塞矩阵
将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数，则 在 点处的泰勒展开式的矩阵形式为：
其中：
（1） ，它是 在 点处的梯度。
（2） 为函数 在 点处的黑塞矩阵。
黑塞矩阵是由目标函数 在点X处的二阶偏导数组成的 阶对称矩阵。
对称性
如果函数 在 区域内二阶连续可导，那么 黑塞矩阵 在 内为对称矩阵。
原因：如果函数 的二阶偏导数连续，则二阶偏导数的求导顺序没有区别，即
则对于矩阵 ，有 ，所以 为对称矩阵。
应用
定理
设n多元实函数 在点 的邻域内有二阶连续偏导，若有：
并且
则有如下结果：
（1）当A正定矩阵时， 在 处是极小值；
（2）当A负定矩阵时， 在 处是极大值；
（3）当A不定矩阵时， 不是极值点。
（4）当A为半正定矩阵或半负定矩阵时， 是“可疑”极值点，尚需要利用其他方法来判定。
实例
求三元函数的极值。
解：因为，故该三元函数的驻点是。
又因为，
故有：
因为A是正定矩阵，故是极小值点，且极小值。
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