C*-代数

泛函分析分支

C*-代数（C*-algebra），读作“C-星-代数（C-star-algebra）”，其为一个满足伴随（adjoint）、对合（involution）性质的巴拿赫代数（Banach algebra），是泛函分析的一个研究对象。

定性刻画补充

定性刻画的两点补充说明

伴随（adjoint）：在泛函分析中，希尔伯特空间中的每个线性算子有一个相应的伴随算子。算子的伴随将方块矩阵的转置共轭推广到（可能是）无穷维的情形。如果我们将希尔伯特空间上的算子视为“广义复数”，则一个算子的伴随起着一个复数的共轭的作用。一个算子的伴随常常也称为埃尔米特伴随（Hermitian adjoint），记作或（后者尤其用于狄拉克符号记法）。定义连续有界算子（对于线性算子，连续必有界），若满足对全体，有，可得（即的伴随是连续线性算子），此时便称为埃尔米特（物理中译作“厄米”）或自伴（self-adjoint）。在某种意义下，这种算子起着实数（等于它们的复共轭）的作用。它们在量子力学中作为实值可观测量的模型。

对合（involution）：逆函数等于自身的函数，即或。

应用

一般认为 C*-代数主要应用于量子力学中可观测量的模型代数中。这方面的研究始于 1933 年左右，沃纳·海森伯（Werner Heisenberg）创立的矩阵力学，以及帕斯库尔·约尔当（Pascual Jordan）所研究的、更接近数学发展的形式。之后，冯·诺依曼在他一系列关于算子环的论文中尝试建立更广泛的框架，并将 C*-代数发展至一个高潮。这些论文可看做是一类特殊的 C*-代数，现在称为冯·诺依曼代数（von Neumann algebra）。

1943 年前后，伊斯拉埃尔·盖尔范德（Israel Gelfand）和马可·奈马克（Mark Naimark）对 C*-代数作出了抽象刻画，使其不再需要用希尔伯特空间上的算子进行刻画。

在当代数学研究中，C*-代数是局部紧群的酉表示理论中的重要工具，同时在量子力学的代数表述中也有应用。另一个活跃的研究领域是对可分单核 C*-代数（separable simple nuclear C*-algebra）的分类，以及确定可被分类的程度。

两则典型示例

C*-代数的一则典型示例就是复希尔伯特空间上连续线性算子的复代数，它具有两个附加性质：①是算子的范数拓扑（norm topology）中的拓扑闭集；②在取算子的伴随运算下是封闭的。

另一类重要的非希尔伯特 C*-代数包括连续函数的代数。

抽象刻画

以下为 Gelfand 和 Naimark 于 1943年给出的定义。

C*-代数是复数域上的巴拿赫代数及其映射的组合（中元素关于对合映射 * 的像写作），具有以下性质：

• 映射为对合映射，且对于中任一元素：

• 对中任意的两个元素,：

• 对复数域中任意复数以及中任一元素：

• 对于中任一元素：

注意，前三个恒等式说明是一个“*-代数”。最后一个恒等式称为 C*-恒等式（C*-identity），它等价于：。有时亦称为 B*–恒等式。关于 C*-代数和 B*-代数背后的历史，请参阅下面的“B*-代数与 C*-代数”部分。

C*–恒等式是一个很强的约束条件。举例来说，C*–恒等式和谱半径公式（spectral radius formula）可以推出 C*–范数由以下代数结构唯一确定：

C*-代数中，一个从到的有界线性映射被称为 *-同态（*-homomorphism），如果

• 对中任意的两个元素,，

• 对中任一元素，

就 C*-代数而言，C*-代数间的任何 *-同态都是可缩的（contractive），即有界且范数。此外，C*-代数间的单射 *-同态是等距的（isometric）。这些是 C*-恒等式的结果。

双射 *-同态称为 C*-同态，在这种情况下，和称为同态。

B*-代数与 C*-代数区别

C. E. Rickart 于 1946 年引入术语 B*-代数来描述满足条件的巴拿赫 *-代数（Banach *-algebras）：

• 对于所有 B*-代数给定的都成立。（B*-条件）

这个条件自动暗示 *-对合是等距的，即。因此，，因此，一个 B*-代数也是一个 C*-代数。相反，C*-条件意味着 B*-条件。这是非平凡的，并且不需要条件就可以证明。由于这些原因，术语 “B*-代数”在当前的术语中很少使用，并已被术语“C*-代数”所取代。

1947 年，I. E. Segal 引入 C*-代数这个术语来描述的闭范子代数（norm-closed subalgebra），即某些希尔伯特空间上有界算子的空间。“C*-代数”中的“C”代表“封闭的（closed，简称闭的）”之意。Segal 在他的论文中将 C*-代数定义为“希尔伯特空间上有界算子的一致闭的自伴代数”。

结构

C*-代数有许多在技术上很方便的性质。其中一些性质可以通过使用连续泛函积分或化简为可交换C*-代数（commutative C*-algebra）来建立。在后一种情况下，我们可以利用“它们的结构完全由盖尔范德同构（Gelfand isomorphism）决定”这一事实。

自伴元

自伴元（self-adjoint element）的形式为。形式为的 C*-代数的元素集合构成了一个闭凸锥（closed convex cone）。该锥体与形式为的元素相同。此锥体的元素被认为是非负的（有时是正的，尽管这个术语与它用于 R 的元素时相冲突）。

C*-代数的自伴元的集合自然具有偏序（partially ordered）向量空间的结构；此序通常标记为。在该序中，当且仅当的谱非负时（即对一些，当且仅当时），中的自伴元素的满足。当时，中的两个自伴的元素和的满足。

这个偏序子空间允许在 C*-代数上定义一个正线性泛函，而该 C*-代数的正线性泛函转而又被用来定义一个 C*-代数的状态，或是用 GNS构造（Gelfand–Naimark–Segal construction）来构造一个 C*-代数的谱。

商、近似单位元

任何 C*-代数都有一个近似单位元（approximate identity）。事实上，的自伴元存在一个有向族（directed family）满足

在可分离的（separable）情况下，存在一个序列（sequential）近似单位元。更一般地说，当且仅当包含一个严格正元素，即一个正元素使得在中稠密（dense）时，才会有一个序列近似单位元。

利用近似单位元，可证明在自然范数（natural norm）下，C*-代数模掉一个闭真双侧理想（closed proper two-sided ideal）后的代数商（algebraic quotient）仍是 C*-代数。

同理，C*-代数的闭双侧理想本身也是 C*-代数。

示例

有限维

如果将上的矩阵视为欧几里德空间上的算子，并对矩阵使用算子范数 ||·||，则矩阵的代数成为一个 C*-代数。对合由共轭转置给出。更一般地，我们可以考虑矩阵代数的有限直和。事实上，所有作为向量空间的有限维C*-代数都是这种形式，最多彼此同构。自伴这个要求意味着有限维C*-代数都是半单的，由此可以推导出下述阿廷-韦德伯恩型（Artin-Wedderburn type）的定理：

定理：一个有限维 C*-代数典范同构于一个有限直和，即，其中，为的最小非零自伴中心投影的集合。

每个 C*-代数（以一种非典范方式）同构于全矩阵代数（full matrix algebra）。指标上的有限族（finite family）由给出，称为的维数向量（dimension vector）。该向量唯一地决定了有限维C*-代数的同构类。若使用 K-理论的语言就是：该向量是的群的正锥。

物理中偶尔会将有限维C*-代数称为 †-代数（†-algebra），或者更明确地说，闭† 代数（†-closed algebra）。剑标（dagger）† 之所以会用于称呼有限维C*-代数，是因为物理学家通常用这个符号来表示埃米尔特伴随（Hermitian adjoint，物理上译作“厄米伴随”，数学家通常用星号 * 表示埃米尔特伴随），而且通常不担心与无限维数相关联的一些微妙之处。†-代数在量子力学，尤其是量子信息科学中表现突出。

近似有限维C*-代数（approximately finite dimensional C*-algebra）是有限维C*-代数的一则直接推广。

算子

C*-代数的一则典型示例就是定义在复希尔伯特空间上的有界（等价于连续）线性算子的代数；这里，表示算子的伴随算子。事实上，对于一个适当的希尔伯特空间，每个 C*-代数都 *-同构于的闭范伴随闭子代数（norm-closed adjoint closed subalgebra）；这就是盖尔范徳-奈马克定理（Gelfand–Naimark theorem）的内容。

紧算子

设是一个可分离的无限维希尔伯特空间。上的紧算子的代数是的一个范数闭子代数（norm closed subalgebra）。它在对合下也是闭的，因此它是一个 C*-代数。紧算子的 C*-代数的具体刻画类似于有限维C*-代数的韦德伯恩定理（Wedderburn’s theorem）:

定理：如果是的 C*-子代数，则存在希尔伯特空间满足，其中，（C*-）直和由笛卡尔积的元素组成，且。

虽然没有单位元，但可以推导出的一个序列近似单位元。具体来说，同构于平方可和序列（square summable sequence）的空间，我们可以假设。对于每个自然数，设是的序列的子空间，其在指标时为零；并设为投影到上的正交投影。序列是的一个近似单位元。

是的一个双侧闭理想。对于可分离的希尔伯特空间，该理想唯一。模掉后的商为卡尔金代数（Calkin algebra）。

可交换

设是一个局部紧的豪斯多夫空间（Hausdorff space）。上的复值连续函数空间在无穷远处为零（这里的无穷远基于局部紧性定义），该空间在点态乘法（pointwise multiplication，或译逐点乘法）和点态加法下形成一个可交换 C*-代数（commutative C*-algebra），对合为点态共轭。当且仅当为紧的时，有一个乘法单位元。和任何 C*-代数一样，具有一个近似单位元。在这种情形下，我们立刻就能得到：考虑的紧子集的有向集（directed set），并对每个紧，设为紧支集（compact support）的函数，其在上恒等于 1。用于局部紧豪斯多夫空间的蒂茨扩张定理（Tietze extension theorem）证明了这些函数的存在性。任何这样的函数序列都是近似单位元。

盖尔范德表示（Gelfand representation）指出：每个可交换 C*-代数都 *-同构于代数，其中是具有弱* 拓扑（weak* topology）的特征标空间。此外，如果同构于 C*-代数，则和同胚（homeomorphic）。这种刻画是非交换拓扑和非交换几何的动机之一。

C*-包络代数

给定一个具有近似单位元的巴拿赫 *-代数，存在一个唯一的 C*-代数（最多彼此 C*-同构），且从到的 *-态射是万有的（universal，有时译作“泛的”），也就是说，每个其他的连续 *-态射因子可以通过唯一确定。代数称为巴拿赫 *-代数的 C*-包络代数（C*-enveloping algebra）。

特别重要的是局部紧群的 C*-代数，它被定义为的群代数的包络 C*-代数（enveloping C*-algebra）。在为非阿贝尔的情形下，的 C*-代数为的一般调和分析提供了表述语言。特别地，局部紧群的对偶被定义为群C*-代数（group C*-algebra）的本原理想空间（primitive ideal space）。参见 C*-代数的谱。

冯·诺依曼代数W*-代数

冯·诺依曼代数是希尔伯特空间上有界算子的 *-代数，在 20 世纪 60 年代以前被称为 W*-代数，是一类特殊的 C*-代数。相对于 C*-代数在算子范数下是闭的，冯·诺依曼代数要求在比范数拓扑还弱的弱算子拓扑（weak operator topology）中仍是闭的。

Sherman-Takeda 定理表明，任何 C*-代数都有一个泛包络（universal enveloping）W*-代数，使得任何 W*-代数的同态都可以通过它分解。

类型

当且仅当，对于的所有非退化表示（non-degenerate representation），冯·诺依曼代数（即的二次交换（bicommutant））是第Ⅰ类冯·诺依曼代数时，C*-代数是第Ⅰ类。事实上，只需考虑到因子表示（factor representation，即表示）是的一个因子就足够了。

当且仅当，一个局部紧群的群 C*-代数是第Ⅰ类时，我们称这个局部紧群是第Ⅰ类的。

然而，如果一个 C*-代数具有非第Ⅰ类表示，那么根据詹姆斯·格利姆（James Glimm）的结果，它也具有第Ⅱ类表示和第Ⅲ类表示。因此，对于 C*-代数或局部紧群，只有谈论第Ⅰ类性质和非第Ⅰ类性质才有意义。

物理应用

量子力学

在量子力学、数学物理中，狄拉克-冯·诺依曼公理（Dirac-von Neumann axioms）以希尔伯特空间上的 C*-代数形式，给出了量子力学的数学表达式。它们分别由保罗·狄拉克（Paul Dirac）于 1930年在其著作《量子力学原理》中，以及约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）于 1932年在其著作《量子力学的数学基础》中提出。

量子场论

1964 年，C*-代数方法被用于局域量子场论（local quantum field theory）的哈格-卡斯特勒公理化（Haag-Kastler axiomatization），其中，闵可夫斯基时空中的每一个开集都与一个 C*-代数相关联。

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