半直积

数学名词

在数学中，特别是叫做群论的抽象代数领域中，半直积(semidirect product)是从其中一个是正规子群的两个子群形成一个群的特定方法。半直积是直积的推广。半直积是作为集合的笛卡尔积，但带有特定的乘法运算。

简介

在数学中，特别是叫做群论的抽象代数领域中，半直积(semidirect product)是从其中一个是正规子群的两个子群形成一个群的特定方法。半直积是直积的推广。

定义

设G与H为群，θ:H→Aut(G)为群同态。定义为G与H的笛卡尔积，且配有乘法如下

(g,h)(g’,h’)=(gθh(g’),hh’)

则为群，称为G与H的半直积。

一些等价的定义

令G为群，N为G的一个正规子群，并且H是G的一个子群。下列命题等价:

1）G=NH且N∩H={e} (其中e是G的单位元)；

2）G=HN且N∩H={e} G的每个元素可以写作唯一的N的一个元素和H的一个元素的积；

3）G的每个元素可以写作唯一的H的一个元素和N的一个元素的积；

4）自然的嵌入H→G, 和自然的投影G→G/N的复合，给出一个在H和G/N之间的同构存在同态G→H，它的像是H本身而其核是N。

如果这些命题中的一个(从而所有)成立，则称G是一个N和H的半直积，或者说G在N上“分裂(splits)”，并写作G = N⋊H。

基本事实

若G是正规子群N和子群H的半直积，而且N和H都是有限的，则G的阶等于N和H的阶的积。

注意，和直积的情况不同，半直积通常不是唯一的；如果G和G' 是两个群，都包含N为正规子群，并且都包含H为子群，而且二者都是N和H的半直积，则未必G和G' 是同构的。

外半直积

若G是一个N和H的半直积，则映射φ : H → Aut(N) (其中Aut(N)表示N的所有自同构组成的群)(定义为φ(h)(n) = hnh 对于所有H中的h和N中的n)是一个群同态。实际上N, H 和 φ 一起确定了G 最多相差一个同构，如下面所证。

给定任意两个群N和H（不必是某个群的子群）和一个群同态φ : H → Aut(N)，我们定义一个新群N ⋉φ H，N和H相对于φ的半直积，如下: 基础的集合是集合直积N × H，而群运算*给定为

(n1, h1) * (n2, h2) = (n1 φ(h1)(n2), h1 h2) 对于所有n1, N中的n2 和H中的h1, h2。这确实定义了一个群；其幺元为(eN, eH)而元素(n, h)的逆为(φ(h)(n), h). N × {eH}是同构于N的正规子群, {eN} × H是同胚于H的子群，而该群是这两个子群在上面给出的意义下的半直积。

反过来假设我们有上述定义的内半直积，也就是说，一个群G有一个正规子群N,一个子群H，并且使得G的每个元素g 可以唯一的写成g=nh的形式，其中n在N中而h在H中。令φ : H→Aut(N)为如下同态

φ(h)(n)=hnh. 则G同构于外半直积N ⋉φ H; 该同构把乘积nh映到2元组(n,h)。在G中,我们有如下规则

(n1h1)(n2h2) = n1(h1n2h1)(h1h2) 而这是上述外半直积的定义的深层原因，也是一个记住它的方便办法。

群的分裂引理（splitting lemma）的一个版本称群G同构于两个群N和H的半直积当且仅当存在短正合序列

和一个群同态r : H → G 使得v o r = idH, H上的恒等映射。在这种情况, φ : H → Aut(N)给出如下

φ(h)(n) = u(r(h)u(n)r(h)).

例子

有 2n个元素的二面体群Dn 同构于循环群Cn 和C2的半直积。这里，C2的非单位元作用于Cn，将元素变成其逆；这是一个自同构因为Cn是交换群。

平面的刚体运动群(映射f : R → R 使得x和y之间的欧氏距离等于f(x) 和f(y)之间的距离对于所有在R中的x和y成立)同构于交换群R (描述平移)和正交 2×2矩阵的群O(2)(描述转动和反射)的半直积。每个正交矩阵通过矩阵乘法作用在R上，并且是一个自同构。

所有正交n×n矩阵的群O(n)(直观的讲，所有n维空间的所有转动和反射的集合)同构于群SO(n) (所有行列式值为1的正交矩阵，直观的讲n维空间的转动的集合)和C2的准直积。如果我们将C2表示为矩阵{I, R}的乘法群，其中R是n维空间的翻转(也就是行列式为-1的正交对角矩阵)，则φ : C2 → Aut(SO(n)) 由φ(H)(N) = HNH^(-1)对所有在C2中的H 和SO(n)中的N给出。

关系

与直积的关系

假设G是一个正规子群N和子群H的半直积。若H也在G中正规，或者说，若存在一个同态G → N是N上的恒等映射，则G是N和H的直积。

两个群N和H的直积可以视为N和H相对于φ(h) = idN (对于所有H中的h)的外半直积。

注意在直积中，因子的次序不重要，因为N × H同构于H × N。这在半直积中不成立，因为两个因子的角色不同。

推广

半直积的构造可以推得更广。在环理论中有一个版本，环的交叉积（crossed product of rings）。一旦构造了群的一个半直积的群环，这可以很自然的看出。还有李代数的半直和。给定拓扑空间上的一个群作用，存在一个相应的交叉积，它通常非交换，即使群是可交换的。这样的环在群作用的轨道空间有重要作用，特别是当该空间不能用常规的拓扑技术处理的时候 - 例如在阿兰·科纳的工作中（细节请参见非交换几何）。

在范畴论中也有推广。它们表明了如何从“指标范畴(indexed categories)”构造“纤维范畴(fibred categories)”。这是外准直积的抽象形式。

参看

圈积(Wreath product)

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